well-definedであることをよくわかるには，そうでない例を作るのがいいのではないか．例 をと決めてみる． 一見よさそうである． しかしであるが，であるから像が一致しないので写像でない．同一のものが2通りで表現されるとき，well-definedであることは確…

群はどんな構造になっているのか，が分かればよい． 構造がよく分かっている群と，よく分からない群を橋渡しするのが準同型写像である．定義（準同型写像） 群から群への写像が を満たすとき，の準同型写像という．群の演算が写像を介しても保たれている，と…

可解群の性質は比較的保存される． それらを命題にしてまとめる．命題 は可解群で，ならばは可解群である．（証明） は可解群であるから， 1) という列で， 2) がアーベル群 を満たすものが存在する．ここで群の部分集合に対して，と定める．ならばは部分群…

ガロア理論を用いて開冪により代数方程式の解の公式が表されるか，ということを示す際，この可解群の話は避けられない． 定義を眺めるといくぶんやる気がそがれると思うが，とりあえず書こう．定義（可解群） 群が可解群である，とは 1) という正規部分群の…

高校の数学２で図形と方程式という分野を学ぶ。 このときまでは直線はで、放物線はということは知っている。 図形は方程式で表現できる、ということをこの新しい分野で学ぶわけだ。次に数学Bで幾何ベクトルを学び、さらに数学３で複素平面を、と進んでいく。…

自然対数の底，ネイピア数と呼ばれる数eがある。 日本では数学IIIで学ぶ。教科書では次の定義で導入される。 この式を眺めていてもよく分からない。その理由は対数の微分にある。に導関数の定義式を適用する。 の極限を考えることになるが，最右辺のの中身が…

スペクトル分解を学んだことがなかったので，少しだけ考えたあと教科書を調べた。 一般のn次正方行列でできると思って考えていたのだが，教科書には正規行列であることが必要十分とあった。もう少し勉強してから，ここに書くつもりである。

対角化の計算をするときに，固有ベクトルをとって行列を作るわけだが， 次のことが気になっていた。命題． は零行列ではないn次正方行列とする。 ならばである。（証明） 背理法。と仮定する。 を右乗すると，左辺はからとなり矛盾する。（証明終）この零行…

この問はどうするか。 １） 級数ではないが，和の問題なので考えてみる。 解） as ．このように一部が和の公式が使えるときは使うとよい。２） 有名な部分分数分解を使うときである。 解） までの和は部分分数分解を使うと次のとおりである。 （先頭と最後以…

前回 orz107orz.hatenablog.com を受けて，実際の問題で公式を使ってみよう。１） 初項が，公比がの無限等比級数である。 公比の絶対値が1より小さいので，公式が使える。 ．２） かの有名な問題である。この・・・が曲者だ。 この・・・は何かを省略したも…

今回は等比級数の一般論を扱う。つまり の形をしているものである。やはつまらないので除外することにする。級数の定義によって収束発散を議論しよう。 とおき，ひとまずこの和を計算する。等比数列の和の公式でとなる。 の極限をとるが，は分子のにのみ存在…

あまり一般的ではない証明をつける。定理．（トレミーの定理） 円周上の４点に対して，が成立する．（証明） 図に対して以下のように角度を定める． 四角形の対角線とそのなす角は下の図のように，三角形の外角からである． よって四角形…(1)である． 次に三…

いくつかの級数の問題は取り扱ってきたものの，初歩の問題はなぜかやらずにきた。面倒だったのかもしれない。 今回はそのような問題たちを扱う。ところで級数とは何か，という話を初めにしなければならないだろう。 級数（無限級数）とは，無限項の数列の和…

1/6公式はよく知られている．少し変えて，はどうだろうか． これはこのようになる． ．右辺のはまとめられることが多いのだが，こうしておくと符号がどうなるかわかる． つまり被積分関数にを代入した際の符号に依存するということであって， この書き方であ…

小・中学校のとき，食塩水の問題が苦手だった． １０％の食塩水３３０ｇとかいわれて，このパーセントって何だ？となっていたからだ。「男女２５０人のうち３０％が男子である。」という話題と変わらないのだが…。

この余角・補角の公式も大事だ。余角の公式 補角の公式 あとこれも。の公式 ところでどうしてを余角というのだろう。 それをいえば補角もだけど…。

マニアックな数列ばかり取り扱って、基本的な数列をやっていなかった。このような数列を考える。 5, 8, 11, 14, … はじめの数に３ずつ足して作られる数列である。 同じ数を足している、ということは隣あったものどうしは差が一定ということである。 つまりで…

orz107orz.hatenablog.com この記事の意味がさっぱり分からない。 一体なにをしようとしていたのか…？今となってはもう解明できない気がする。この記事で述べられている、並べ替えの不等式はこのことだろうか。 ３個のバージョンを書いておく。 実数およびに…

前回の記事のつづき。 端点だけでは積分の値を１つに定められない例を挙げる。 つまり関数として正則でないものを挙げればよい。例．関数について考える。 端点をととし、複素積分を考える。 1) 積分路を実軸に沿って考えた場合 パラメータは（）ととる。 ．…

orz107orz.hatenablog.com コーシーの積分定理の主張はここでかいた。 驚異的な定理と書いたが、この定理の気持ちを自分なりに書いてみる。高校のころに学ぶ、実軸上の１変数関数の積分を思い出そう。 簡単のため閉区間上でである関数の積分を考える。 これ…

ネット上でも有名なアレである。問．（隣の家の子どもの性別） 1) 隣の家に家族が越してきた。子どもが２人おり、１人は男であるという。２人とも男である確率を求めよ。 2) 隣の家に家族が越してきた。子どもが２人おり、そのうちの１人の男の子どもが外で…

初等整数論をやらなきゃいかん，と決意して勉強し始めたところ，除法の原理の証明で行き詰った．定理．（除法の原理） 自然数 に対して を満たす整数 が存在する．ただし である．ネットで検索したら，この証明はペアノの公理から始めて，最小値原理を認めな…

絶対値について書いておく．定義．（絶対値） 実数に対して，ならば，ならばをの絶対値という． の絶対値を記号で表す．□例． (1) (2) (3) このような問題は慣れればすぐにはずせる．しかし慣れないうちは以下のようにする． （解） であるからである． よっ…

修正というとき，必ずしも改善であるとは限らないが，これは改善であるといえると思う．これらの記事についてである． orz107orz.hatenablog.com orz107orz.hatenablog.comかいつまんでいうと，級数について，という等式を使うと示せそうだよね，という話で…

正直に言うと、この話はそこまで詳しくない。 高校レベルくらいまでのことしか知らない。 そんな初歩の話を書いてみる試みだ。その１．普段の数 日常生活で使う数は31や1200と書かれる。 31は小学校以来「さんいち」ではなく「さんじゅういち」、1200は「い…

曲線が（）と表されているとき，その曲線の長さは この式の意味をおおまかに考える。 方向の小さい変化に対して，この曲線の方向がと変化しているとする。 この分の曲線の長さはピタゴラスの定理でで求められる。 あとはこれらの曲線を足し合わせて極限をと…

2次関数の最大値・最小値の問題は，必ず関数のグラフで解決すべき問題だ。例題．関数，の最大値と最小値を求めよ。流れを確認する。 １．２次関数のグラフをかくために，関数を平方完成する。 ２．頂点と端点に注目して関数のグラフをかく。 ３．目で見て，…