前日の数列からすぐに思いつくのは次の数列の一般項はどうか，ということだ． 今のところ手がかりすらつかめない．

のように2つの数が交互に現れる数列の一般項を考えた． 例えばであればである． これを参考にして，ならばでよい． うまくできた，と思った．そしてこれを考えた少し後に，として 通常の隣接三項間漸化式を解けばよかったことに気がついた． 少しだけ遠回り…

円周角の定理については次のとおりである．定理．（円周角の定理） (i) 同じ弧ABに立つ円周角は一定である．また円周角の2倍は中心角に等しい．□中学校で習う，とてつもなく有名な定理であるが，次のことも成り立つ．(ii) 円の内部の点と弧で作られる角は円…

確率変数という言葉がなじまない。 結局これは測度論としては可測関数になるわけか。 しかし通常は単なる変数として考えたくなるから…こんがらってしまう。

問． ，を次の整式とする． ならば任意のに対してを示せ．□東京工業大学で出題された問題とのこと．後で考えよう．

このまえのの積分にも登場した式， は記憶に値する． この2乗は一瞬見破りにくい． 3乗や4乗の方が案外見破れるものだ．

トレーニングノートβ 数学A 受験研究社 の問題102より． 問． どの直線も互いに平行でない4直線が交わって，4つの三角形ができているとき， それらの外接円はすべて同一の点を通ることを証明せよ．□ 正直に告白するととても苦労した． 何日か前に書いていた…

正弦定理にも登場する外接円は意外と難しい． 例えば三角形ABCに対して，各頂点に位置ベクトルを定める． このとき外心Oはどのように表せるか，はやっかいである．

一般に実係数の高次方程式がある複素数を解に持つなら，の共役複素数も解である．高次方程式の解がとすると， が満たされる． 両辺の共役複素数をとると これで示される．

問． 次の不定積分を計算せよ．ただしを積分定数とする． (1) (2)に対してが， 分子にあっても分母にあっても積分が計算できるのは驚きだ．（解） (1) ．(2) ． （終）

は典型的な極限の問題だろう． （）を証明して，で正の無限大の極限をとればよい．

相変わらず行列式はよく分からない． よく分からないなりに，逆行列の原理は分かった気がする．１）一意的であること 次正方行列に対して逆行列は一意的である． まずとなるが存在するとする． 行列の積の結合法則から， となる． 逆行列の定義から，一意性…

隣接二項間漸化式のマニアックなものを考えた． もちろん考える必要はないものだ．暇だった，それがすべてだ．問． 次の漸化式で定義される数列の一般項を求めよ． ．□まず漸化式の両辺をで割る．（指数があるときの定跡） ． 項数をひとつずらして引く．（…

問． ，，， という漸化式で定義される数列，の一般項を求めよ．□ポイントはと変形すると，が消去できることである．（解の概要） に注意すると， となる．これは隣接三項間漸化式なので解ける．（概要終）

命題． ガンマ関数とベータ関数に対して次の等式が成り立つ． ．□つまりこれはこの二項係数の等式の一般化である． ．さて，命題の証明はどうやるのだろうか．．． …

命題． ．□この等式が成り立つことは明らかである． またより偶数和に等しいのである． つまりのように数が折り返して戻るときは奇数和に， のように折り返すときは偶数和になるということだ．

ふと次の等式が成り立つことに気がついた．命題． ．□（証明） （自然数の和の公式） ．（証明終）このように和の公式であっさり解決するが，こんな見方もある．（証明） に注意すると， ． （奇数和の公式） （証明終）

問． ・ in ・ を満たす関数はどのような関数か．

関数が次の条件を満たすとする． 1)． 2) ． 3)． このときと確定するか．

トーラスの体積を計算するのは，回転体の体積計算のいい練習になるだろう．トーラスというのはドーナツ型のことである． 数学IIIの知識で求めてみよう．次のように軸上に中心を持ち，半径が原点を超えない円の方程式を考える． （ただしとする） 式を変形す…

を知るにはとが計算できればよい． は正五角形から得られる． は半角の公式を用いればよい．

中学校で習う定理の中で，平行線と相似の性質が実によくあらわれている定理だと思う．定理．（中点連結定理） 三角形ABCについて，辺ABの中点をM，辺ACの中点をNとする． このときかつが成り立つ．□

公式を紹介するわけではなく，思ったことを． 三角形ABCについて，がさらりと評価できるとうれしいのだが…． 考え方としてはが凸関数であるから，Jensenの不等式を使うのがいいのかもしれない． しかし，三角関数の積なのでどうにか積和の公式が使えないだろ…

昨日の流れのまま，有名な初等幾何の問題の逆をやりたいと思った． そこで三平方の定理の逆をとりあげることにした．定理．（三平方の定理の逆） 三角形ABCの三辺について等式が成立するならば， 三角形ABCは∠Cの直角三角形である．□（証明） 三角形A'B'C'を…

ゆとり世代まっさかりだった自分は，それほど極座標になじみがない． 使うといえば変数変換して積分するときぐらいである． 現学習指導要領はこのあたりをしっかりと学ぶようである． 私も負けてはいられない．少しずつ学んでいきたい．

数学的帰納法についてのことを少しずつまとめる。例１． 自然数に対して，次の等式を証明せよ． ．（証明） の場合は，（左辺）（右辺）であるから正しい． の場合で成り立つと仮定する．に対して， （数学的帰納法の仮定による） ． 以上よりの場合も成り立…

奇数の和かつ自然数の和 であるから，偶数の和は次のように，まるで連立方程式のように計算できる． ． このようにしていえる．でも次の方法の方がよっぽど自然だな…． ．

関数 を平方完成する． ほとんど2次関数はこの変形ですべてである，といいきってしまえるくらいの強力な変形である． ちなみに因数分解することもでき，2次方程式の解へも繋がる．

行列を学ぶと，必ずついてまわってくる素晴らしい定理． それがケーリー・ハミルトンの定理である．の場合は高校の教科書にも載っていた． 一般の場合も含め，定理にまとめると以下のようである．定理．（ケーリー・ハミルトンの定理） 次正方行列の特性多項…

「やや複雑な因数分解は次数が一番低い文字に注目する」をこの式に使ってみる． （で整理する） （無理やりの項を出す） （たすきがけ因数分解） ．途中項を出すあたりは強引の極みであるが，因数分解ではよくある話か． そういえば今回も登場したこの式の場…