分散の加法性が成り立たない例

例．
確率変数 $X, Y$ を以下のように定める．

$X$	0	0	1
$Y$	0	1	1
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

このとき

$XY$	0	1
$P$	$\frac{5}{6}$	$\frac{1}{6}$

である．ゆえにそれぞれの確率変数の期待値は $E(X)=\frac{1}{6},E(Y)=\frac{1}{2},E(XY)=\frac{1}{6}$ である．
つまり $E(XY) \neq E(X)E(Y)$ で， $V(X+Y) \neq V(X) + V(Y)$ である．（終）

上記だけでは解説が不十分という場合もあろうかと思うので，いくつか注意を述べる．

注意．
(1) 最初の表の意味は $P(X=0,Y=0)=\frac{1}{2}$ などという意味である．
$P(X=0)$ は，確率の和で $P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)=\frac{5}{6}$ で求める．
同様に $P(Y=0)=\frac{1}{2}$ と計算できる．これは2つの確率変数 $X,Y$ が独立でないことを意味している．
確率変数が独立であるとはすべての $X,Y$ のとりうる値で $P(X=a,Y=b)=P(X=a)P(Y=b)$ が成り立つことである．
(2) 最後のつまり，以下の部分がさらりとしすぎかもしれない．このようなやや冗長な計算があるからである．
$V(X+Y)=E( (X+Y)^2)-(E(X+Y))^2$
　　　　　 $=E( (X+Y)^2)-(E(X)+E(Y))^2$ （期待値の加法性）
　　　　　 $=E(X^2+2XY+Y^2)-(E(X))^2+2E(X)E(Y)+(E(Y))^2$
　　　　　 $=E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2)-(E(X))^2+2E(X)E(Y)+(E(Y))^2$
　　　　　 $=V(X)+V(Y)+2(E(XY)-E(X)E(Y))$ ．
そういうわけで，最終項の $E(XY)-E(X)E(Y)$ が0になるかどうかで加法性の成立が調べられるのである．

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

分散の加法性が成り立たない例