問． 不等式を示せ．□ときおり見かける不等式である． 次の不等式が分かっていればたやすい．補題． が成立する．（証明） ．（証明終）補題を使って解いてみよう．（解） （補題を用いた） （補題を用いた） ．（終）文字を回して，解決するのは不等式証明…

運動方程式はとてつもない式だが，この作用反作用の法則も大切だろう．ヘリコプターが頭の羽根をバタバタさせると， 本当ならこの作用反作用の法則で胴体も羽根と反対側にグルグル回るはずなのだ． これが尻尾にある羽根のおかげで，ぴたりと止まっているわ…

定理． とする． をの最大公約数，をの最小公倍数とする． このとき，が成り立つ．□（証明） はの最大公約数であるから，互いに素であるを用いて および と表せる．またはの最小公倍数なので かつ と表せる．つまりで，両辺を で約分するとが成り立つ． とは…

ルベーグ積分の記事を書くのには、非常にパワーがいる。 一度やって忘れてしまった内容ゆえである。 何とか…少しずつ書いていきたい。

関数の各点における曲率を求めたのだがしっくりこない．

逆関数の微分は，ライプニッツの記法により次のように書かれる． ．まるで分数のように…と．関数ではどのようになるのか．

地震の規模を表す指標マグニチュードは次のように定義するそうだ． 地震のエネルギーを[J]とすると， が成り立つ．

「ひとつ分」の概念が肝心である。例えば速度はまさに「ひとつ分」を表す量である。例． ・時速5kmとは，1時間あたり5km進むということである ・分速60mとは，1分あたり60m進むということである

問． 元値円を8%割引した後，8%増した場合，値段はどうなるか． (1) 増える (2) 等しい (3) 減る答． 計算してみよう． 元値を8%割引すると，この値を8%増すと，円である． 後ろの括弧部分は展開できて， （を用いた） となる．これは元値より価格が減少する…

二次方程式の判別式は実数か否かの判定のときにも登場する． 理由は以下のとおり．(1) 二次方程式について，を判別式という． 特にの場合，二次方程式は実数解を持つ．基礎問題では具体的な二次方程式の解の判別に使われ， 基本問題では文字が含まれている二…

現在，数学Iでも教えられる箱ひげ図． その雑感をここに記していこうと思う．1) 描き方について データを5数要約し，平均を求める．5数要約とは，データの中の次の5個の数を用いて，データの特徴を述べることである． 最小値 第1四分位数（25％の位置にある…

有名事実であるが，じゃんけんは3人で行うときは公平である．問． 3人が1回じゃんけんする．次の確率を求めよ． (1) ひとりが勝つ確率 起こるすべての場合の数は27通りである． あるひとりがパーで勝つのは，残りふたりがグーのときなのでである． チョキ，…

関数を軸の周りで回転させたときの体積はこれで決まりである．紹介する前にノーマルな積分の方法も紹介する． 連続で単調増加関数を考える． 数学IIIの教科書にもあるとおり，からおよび関数で囲まれた部分の 軸の回りの回転体の体積は次のようである． ． …

よくスマートフォンでインチの単位が出てくる。 1インチ=2.54cmなのだそうだ。 だから、5インチは12.7cmであって…結構大きい。

問．実数上の関数で，既約分数に対しては分子を1にし，無理数に対しては0となる関数は 各無理数では連続であることを示せ．（20.6.13） 昔，全く解けず手も足も出なかった問題である． この問題をここにアップしたときも解けていなかった． 時間があったら考…

問． かつならばを示せ．（解説） ・収束する数列は有界数列である．（証明） 任意のをとる． 収束する数列は有界数列であるから，あるが存在して， すべてのに対してである． ならば，あるが存在して，に対してが成り立つ． ならば，あるが存在して，に対し…

問． をε-δ論法で証明せよ．□（解説） ・よりである． よってである．（証明） 任意のをとる． を次を満たすように定める． (1) を満たすに対して （分子の有理化） ． （(1)より） ε-δ論法よりが示された．（証明終）

ε-δ論法ネタその２． ネットで検索すると，「ε-δ論法って分かりにくいよね？解説するよ！」というサイトは多い． そしてそういったサイトは至極分かりやすい．一方，問題の解き方をそのものずばりで書いているサイトはあまり多くない気がする． というわけで…

問． 関数がにおいて連続で，ならば の十分近くのすべてのに対してとなる．□典型的なε-δ論法の練習問題である．（証明） 関数はで連続であるから， 任意のに対して，あるでならばとなるものが存在する． ととる．上の式で存在するを固定する． を満たすすべ…

問．（東京大学2004第1問） 平面の放物線上の3点が次の条件を満たしている． は一辺の長さの正三角形であり，点を通る直線の傾きはである． このとき，の値を求めよ．□上は完全に思い出話で終わってしまったが， 結局のところどうやって解くの，ということを…

忘れられない問題は多々あるが，その内のひとつは次の問題である．問．（東京大学2004第1問） 平面の放物線上の3点が次の条件を満たしている． は一辺の長さの正三角形であり，点を通る直線の傾きはである． このとき，の値を求めよ．□忘れもしない，私が初…