ルベーグの優収束定理を用いて，微分と積分の交換可能の条件を求める．定理 上の関数が次の条件を満たすとする． 1) 各に対してはで積分可能である． 2) は存在し，ある1変数関数でとなるものが存在する． このときが成立する．

定理（ルベーグの優収束定理） 関数列は次の条件を満たすとする． 1) a.e. 2) あるですべてのに対して a.e.を満たすものが存在する． このときが成立する．注意 1) 関数列にの条件を課す必要はない． 2) と積分との交換がこのような単純な条件でできることが…

補題（ファトゥの補題） ならば が成り立つ．（証明） 関数列を考える．各に対して であるから，単調収束定理が使える． で従う．（証明終）

ベッポ・レヴィの定理を用いると単調収束定理が証明できる．定理（単調収束定理） に対して が成り立つ．（証明） とおく． に注意してベッポ・レヴィの定理を用いればよい．（証明終）

単調増加な列に対する収束定理を取り扱う． 収束定理とは，と積分の順序交換を保証する定理である．定理（ベッポ・レヴィの定理） 非負可測関数列に対して， が成り立つ．この等式の右辺または左辺が無限大であれば，両辺共に無限大となる．積分範囲が示され…

いよいよルベーグ積分の定義に入っていこう．[1] 非負単関数 非負単関数に対して，そのルベーグ積分を と定義する．[2] 非負可測関数 非負可測関数に対して，そのルベーグ積分を はを満たす非負値単関数 と定義する．可測集合上の積分はに指示関数を乗したも…

定義（単関数） 値を有限個しか持たない関数を単関数という．ただし値としてを許す． 数式で表すとが単関数であるとは次のとおりである． および相異なる実数を用いて とかけることである．ここでは集合の指示関数（特性関数）といい のときで，のときを満た…

このルベーグ積分の話を始めた２年以上前の記事を見ると次のようなことが書いてある．「すべての話の始まりは，様々な図形の面積・体積を測るにはどうすればいいかということだ． 素朴に考えると，長方形の面積・体積を定義し， 他の図形は長方形の近似で考…

連続関数と可測関数の合成がまた可測関数になることを示す． 定理． 関数 を連続とする． または有限な値を持つ実数値可測関数とする． このとき，も可測関数である． 可測であること（証明） の開基として，開区間をとることができる． は連続であるからと…

定義．（ほとんどすべて a.e.） に対する命題が，ある零集合の点を除いては成立するとき 命題はほとんどすべて（almost everywhere）のに対して成り立つ，といい a.e. と表す．□ 注意． 考える集合が明らかな場合，は省略可能である．□稠密でかつ零集合であ…

定義．（可測関数） 関数が可測関数であることを次の式が成り立つことで定義する． 任意のに対して，が成り立つ． 具体例を挙げる．例． 連続関数は可測関数である． 実際，任意のに対して，となる．□定義では単なる不等号だが，実際にはそうでなくてよい． …

一般の測度空間に関する性質を調べる． 定義． 集合列に対して， ， と定める．□ 数列の上極限と下極限の類推で定義する． 命題． ならば，である．□ （証明） は集合体の定義による． またとなる． この二つを組み合わせて，後者も言える．（証明終）これら…

命題． およびに対して，が成立する．□ （証明） まず右半開区間に対して成立することは， による．つまり上のすべての元に対して成立するので， すべてのに対してが成立する． 次にに対して，となることを示す． に注意すると，任意のに対して が成り立つ．…

零集合全体の集合をと定める．次の定理が成り立つ． 定理． ルベーグ可測集合全体のσ集合体はボレル集合体およびを含む最小のσ集合体である．□

位相空間における可測空間の構成を考える． 定義．（ボレル集合体） 位相空間において，開集合系を含む最小の集合体をボレル集合体という．またその元をボレル集合という．□ 最小の集合体は生成することによって生み出される． すなわち，集合の部分集合から…

ルベーグ可測集合を定義した． 定義する際に使ったのはルベーグ外測度のみである． 「外」があるなら「内」もあるだろうと思うのが普通だろう． ここではルベーグ内測度を定義し，直感に合う条件がカラテオドリの条件と同値であることを示す． 定義．（ルベ…

ここからルベーグ非可測集合の証明を行う． 定理． ルベーグ非可測集合が存在する．□ （証明） をハメル基底とし，任意のを1個固定する． と定める． この集合がルベーグ非可測集合であることを示す． 背理法による．すなわちであると仮定する．第1段：が成…

定義．（ハメル基底） がハメル基底であるとは，有理数体上のベクトル空間の基底のことである． つまり次の2つの条件を満たすことである． (i)任意のおよびに対して ならば が成立する．(ii)任意のに対して，およびが存在して次の等式が成立する． ．□ 定義…

前回まででルベーグ測度を構成した． この測度は究極の目標として，すべての集合を可測とすることにあったのである． しかしその夢は叶わなかった． ルベーグ非可測集合が存在するのである．その存在はちょっとやそっとでは出てこない． 選択公理を認めるこ…

定理． （i）． （ii）．□ つまり，測度空間はの拡張になっている．（証明） （i） 任意のおよびをとる． の被覆をとする．このとき となる．1行目から2行目へは外測度，すなわちをとっていることに注意する． 両辺に関するをとると が従う．これはカラテオ…

１．ルベーグ外測度はカラテオドリの外測度の条件を満たす ２．ルベーグ外測度でカラテオドリの条件を満たす集合系は集合体となる ３．ルベーグ外測度を集合系上に制限すると測度となる今回は下線を示す． 定義．（ルベーグ測度） をルベーグ測度という．□ …

定義．（零集合） カラテオドリの外測度でその値が0になる集合を零集合という．□ この零集合が曲者である． 定理． ルベーグ外測度の意味の零集合はルベーグ可測集合である．□ （証明） 任意の零集合がカラテオドリの条件を満たすことを示す． 零集合と任意…

補題． かつならば任意のに対してが成り立つ．□ （証明） 数学的帰納法を用いる．はカラテオドリの条件の式そのものである． で成立すると仮定する．すなわち が成り立つとする．ここでからカラテオドリの条件を用いると次の式が成立する． ． ここで，各ど…

補題． 1)． 2)． 3)．□ 1)． は零集合なのでルベーグ可測集合である．2)． 任意のに対して， かつ が成り立つので示される．3)． 任意のに対して， （を任意の集合とみてのカラテオドリの条件を用いた） （のカラテオドリの条件を用いた） ． （のカラテオ…

１．ルベーグ外測度はカラテオドリの外測度の条件を満たす ２．ルベーグ外測度でカラテオドリの条件を満たす集合系は集合体となる ３．ルベーグ外測度を集合系上に制限すると測度となる今回は下線を示す． 定義．（） の集合でカラテオドリの条件を満たす集…

定義8．（ルベーグ外測度） for all と定める．このをルベーグ外測度という．□ 今からの流れは以下のようである． １．ルベーグ外測度はカラテオドリの外測度の条件を満たす ２．ルベーグ外測度でカラテオドリの条件を満たす集合系は集合体となる ３．ルベー…

定義7．（集合環，集合体） 集合． とする． が次の二条件を満たすとき集合環という． （i） ならば （ii） ならば 二条件に加え次の条件を満たすときを集合体という． （iii） □

定義5．（カラテオドリの外測度） 集合に対して，上の関数が次の三つの条件を満たすとき， をカラテオドリの外測度という． （i） かつ for （ii） ならば （iii） for □ 「集合の外側から測度を調べる」ための道具にはこの性質たちが要となっているのである…

この項目の目標は以下の定理を証明することである． 定理1． 前回定めたは，上の測度である．□ 証明をするために，次の三つの補題を証明する． 補題1． ならばが成り立つ．□ つまり集合の大小関係は測度においてもそのまま保たれるということである．（証明…

上に（ルベーグ）測度を定める． まず一般の有限加法的集合環上の有限加法的測度を定義する． 定義4．（測度） 上の有限加法的集合環をとする． 関数が次の二条件を満たすとき，を有限加法的測度という． (i) (ii)ならば ここで(ii)に換えて次の(ii)'を満た…