三角関数の定義は幾通りか存在する． ここでは級数で定義し，加法定理を証明する．定義．（三角関数） および と定義する．□定理．（三角関数の加法定理） 等式が成立する．□（証明） （二項定理） （組み合わせの定義） （☆） ．（証明終）途中の変形（☆）…

位置エネルギーといえば，高いところとばねのイメージしかない． しかし実際には他の力でも位置エネルギーの概念があるようだ．大前提 １．エネルギーをもつ，とは物が仕事をする能力のことである ２．エネルギーがE[J]である，とはE[J]の仕事をする能力をも…

べき級数の話を少しする．級数を考える．定理． あるで級数が収束するならば， すべてのにおいては絶対収束する．□（証明） であるから，が成り立つ． これより，すべてのに対してとなるが存在する． 任意のに対して， （よりであるから無限等比級数の和の公…

点と直線の距離でも登場した話である．命題． 直線に垂直な方向の幾何ベクトルのひとつはである．□（証明） 直線と直線は平行である． この式をと考えれば，直線とは垂直であることを意味する． ゆえに直線とも垂直である．（証明終）

ある領域において正則な関数を考える． 任意のに対して，円周上の複素積分を考える．命題． □（証明） 円周の媒介変数表示は （）で与えられる． 複素積分の定義より となる．ならば である．ならばであるから， である．（証明終）

ε-N論法で証明する典型だが書いておこう． ちなみに私がε-N論法ではじめてうまく証明できたもので印象深い．定理．（はさみうちの原理） 3つの実数列，，について，すべての自然数に対してであり，かつならばである．□（証明） 任意のをとる． およびである…

大学でよく出題される問題である．問． を示せ．□解） に対してである． これよりである． よりはさみうちの原理からが示された．（証明終）

指数法則は次のとおりである． ． 対数法則はこのとおりである． ，．対数の発見のすばらしいところは，対数表があればかけ算をたし算にできることである． 例えば，が既知であるとする． このとき次の計算が成り立つ． （上に書いてある指数法則） （既知の…

微分積分学の基本定理は有名だ．それではこうするとどうなるだろうか． ． 被積分関数も変数に依存しているとするのである． 何を隠そう，実はこうなる． ．

受験生の皆さまセンター試験お疲れ様でした。 既に、ゆっくり休んでいることでしょう。 これからせまりくる二次試験に向けて、英気を養ってください。

明日明後日はセンター試験である。 今日見かけた高校生も社会の問題を出し合っていた。 強気で立ち向かっていって欲しい。このブログに書いてある内容はおそらく一切センター試験の数学には使えないと思う。 試験に使えるというよりもマニアックすぎる内容だ…

定理．（コーシーの積分定理） 単連結領域において関数は正則であるとする． このときに含まれる単純閉曲線に関するの積分は0である．すなわち， が成立する．□いかなる単純閉曲線に対しても0という驚異的な定理である．

関数論を初めて学ぶと，たいていは関数論の美しさ？に惑わされる．関数論における最大の定理たるコーシーの積分定理で催眠術にかかったようになり， コーシーの積分公式ではっと我にかえり，そうこうしているうちに留数定理が登場し， いつの間にかフレネル…

2つの円が外接すると内接する場合，どうやって作図するのだろうか．2つの円の半径が与えられている場合は比較的簡単だろうか…．

少し前にねじれの位置について扱った． さて，三次元空間内の2直線の角度はそれぞれの直線に平行で1点で交わる直線を引き， その交点における角で定義する．

関数がパラメータで及びとあらわされるとき， 導関数を求める，というのは数学IIIでも習う問題である．実際次のようにして求められる． ． まるで分数のようにを用いればよいので，大変記憶もしやすい．それでは二階微分の場合はどうなるだろうか． まず第一…

岩手大学農学部2010年問2より．一部分を抜き出した．命題． 鋭角三角形において，点を通り点で接する円の中心を点とし， 点を通り点で接する円の中心をとする． このとき，∠2∠が成り立つ．（証明） ∠=∠∠∠であるから∠∠=∠を示す． はの二等辺三角形であるから…

ユークリッド空間内の点に対して が成り立つ．証明は和から差に変形するのみであるが， この性質が高校数学の幾何学的ベクトルの命のひとつである．