べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

群論

準同型定理

群はどんな構造になっているのか,が分かればよい. 構造がよく分かっている群と,よく分からない群を橋渡しするのが準同型写像である.定義(準同型写像) 群から群への写像が を満たすとき,の準同型写像という.群の演算が写像を介しても保たれている,と…

可解群の性質

可解群の性質は比較的保存される. それらを命題にしてまとめる.命題 は可解群で,ならばは可解群である.(証明) は可解群であるから, 1) という列で, 2) がアーベル群 を満たすものが存在する.ここで群の部分集合に対して,と定める.ならばは部分群…

可解群のこと

ガロア理論を用いて開冪により代数方程式の解の公式が表されるか,ということを示す際,この可解群の話は避けられない. 定義を眺めるといくぶんやる気がそがれると思うが,とりあえず書こう.定義(可解群) 群が可解群である,とは 1) という正規部分群の…

交代群がいつ可解群になるのか

に対して交代群が非可換であることは,どこかに書いてあるようで書いていない. 実際に に対して かつ であるからアーベル群に成りえない.(20.09.09 追記) そういうわけで非可換なわけだが,それに加えては単純群であることが示される.定義(単純群) 群…

対称群(巡回置換・互換・あみだくじの原理)

ちょっと実験したところ,次のことが分かった.たぶんあみだくじの原理の一表現だと思う.たぶん. ここでは置換に対して,と定義する.命題. 次対称群の巡回置換と互換について次の等式が成立する. (1) (2) ただし,とする.(1)の証明は各のふるまいを見…

クラインの四元群

問. クラインの四元群は四次対称群の正規部分群であることを示せ.正規部分群の定義が成立するか確かめる問題だが, #なので全部確かめるのは面倒だと思う. 何かいい方法はなかろうか.

Sylowの定理への補題

補題.有限アーベル群の位数が素数で割り切れるならば,位数の元が存在する.いかに自分が数学をさぼってきたかが実感できる問題だった. 初等整数論を勉強するべきだ,とよく分かったので頑張ろうと思う.