うーん…ちょっと苦しいなぁ。 頭は痛いし、腹は下っている。ろくでもないよ。

あいかわらず不定積分に悩んでいる．問． 不定積分を求めよ．解） （は積分定数）（終）

「有界右半開区間の差集合は有界右半開区間の非交和であらわせる」の証明は手間がかかりそう． 絵を描くと，とても簡単なのだが，それを証明といいはるわけにはいかないだろう．

上に（ルベーグ）測度を定める． まず一般の有限加法的集合環上の有限加法的測度を定義する． 定義4．（測度） 上の有限加法的集合環をとする． 関数が次の二条件を満たすとき，を有限加法的測度という． (i) (ii)ならば ここで(ii)に換えて次の(ii)'を満た…

命題．（加比の理） ならばが成り立つ．（証明） とおく．このときとなるから， ． （証明終）驚いたことに国語辞典にも載っている． かひのり【加比の理】の意味 - 国語辞書 - goo辞書

なんだか平面図形の問題ばかり取り上げている。 脳の興味が図形に向いているのかもしれない。

問． 関数の最小値を求めよ．また，そのときのの値を求めよ．最初は微分法を用いて解こうと考えたが，計算量の多さで挫折． 二次式ということに着目すると，平方完成が有効であることに気がついた．（解） 関数を変形すると となる．これは点と点との距離及…

今日の朝、ふと球面上の2点の最短距離はその2点を通る赤道の短いほうだろうと思ったので、証明しようと思った。 ところがまったくその方法が浮かばなかった。 たぶん昔習ったはずなのに…。今曲線・曲面論の本を開いたら、見事な方法が載っていた。 しかしま…

前回は幾何学的ベクトルで導出した． 今回は方針は単純だが，計算が少々大変な方法で導出しよう．定理．（平面上の点と直線の距離） 点 と直線 の距離は で与えられる．（証明） のときは軸と平行な直線になるので，距離はとなるから示される． のときを示す…

こんなことも忘れているわけで…． 自分が情けなくなってくるので，ここに書いて自戒とする．ここではユークリッド距離である．つまりである．まずにおける開集合は次の流れで定義する． １．内点 とする．に対して，適当なをとれば が成立するとき，をの内点…

定義3．（有限加法的集合環・体） を一般の集合とする． が次の条件を満たすとき有限加法的集合環という． (i) (ii) さらに (iii) を満たすときを有限加法的集合体という．□ が有限加法的集合体ならば次の2つの性質を持つ． （イ） （ロ） 集合論で既知の性…

高校でふわっと勉強する陰関数は次のように教わった．がと陽に表示できないとき，はの陰関数という．厳密にはこのように定義しない． 陰関数定理が先だってあって，これを元に定義するのである．

関数は，を満たすとする． また，原点を通りなす角である直線をとする． を回転軸とするの回転体の体積は次の式で与えられる． （証明） 直線を軸であると考え，通常通り回転体の体積を求める． ただしいくつかの注意がある． (1) 軸が軸から傾いているので…

ジョルダン外容量，内容量はすごく直感にあった定義である． しかし次のような図形に対しては，長さを測れないのである．例1． と定める．このとき を定めることはできない．よって集合はジョルダン非可測集合である．こうしてジョルダン非可測な集合が存在…

直線の方程式と同様に考えれば，が一般形として与えられるのだろう． 空間の直線の方程式を導いたときと比較して，ベクトル方程式で式を導出するのは難しそうだ．

平面図形の問題を解くときに，図形的性質を拾うにしても， 積分するにしても直線の方程式が分からないと前へ進めない． このことから空間図形を学ぶのに必須事項であることに気がついた．傾き，というのは空間で考えるのは難しいだろう． そこで2点を通る直…

定理．（ツォルンの補題） 空でない帰納的な順序集合は極大元が存在する．なぜ「帰納的」順序集合というのかが分からない． 任意の全順序部分集合は上界を持つことだが…これは帰納的という感じなのか？

すべての話の始まりは，様々な図形の面積・体積を測るにはどうすればいいかということだ． 素朴に考えると，長方形の面積・体積を定義し， 他の図形は長方形の近似で考えるのがいいと思われる． 実際アルキメデス以来その方法で考えられてきたし，以降で述べ…

飽きるまでルベーグ積分論と付随する実関数論を書いていくことにした。 たぶん3日坊主と予想する。昔勉強した猪狩悟「実解析入門」(岩波書店)が下敷きになっていることをここに断っておく。