問.
関数の最小値を求めよ.また,そのときのの値を求めよ.
最初は微分法を用いて解こうと考えたが,計算量の多さで挫折.
二次式ということに着目すると,平方完成が有効であることに気がついた.
(解)
関数を変形すると
となる.これは点と点との距離及び点と点との距離の和である.
これは「川の水を汲む問題」であるから,点の軸対称の点と点との距離
がこの関数の最小値である.
一方,二点を通る直線の方程式はである.
この直線と軸との交点はである.これが最小値を与えるである.
以上より,与えられた関数はのとき最小値をとる.(終)