の開集合を可算個の開球体で被覆する話である．

全体集合の部分集合をとする． このとき，差集合を次で定義する．．差集合の集合算を考えたい．まず大切なこととして，であることは押えておく．命題１． ．（証明） を示す． を言い換えると，かつかつである． とくに「かつ」は「かつ」である． 言い換え…

高校数学３ではじめてこの積分を習う．つまり，右辺を左辺で定義することもできるわけだ． 有名な対数の性質も左辺も証明できよう．例． ．（解） について，という置換をおこなう． かつとなる． つまり．（終）

高校ではまったく出てこないが重要な論法がある．命題． が定数で，任意のに対して， が成り立つならば である．□右辺にいくらでも小さくできる項が含まれていると，その項を取り除いても等号付きで不等号が成立する． 証明は背理法による．（証明） 背理法…

不等号が学校ではじめて登場するのは小学校２年生なのだそうだ． もちろん私は初登場した日のことはまったく覚えていない．しかも「不等号」という名前を出さずに記号を使って数の大小を表現するに留まるのだそうだ． 小学校２年生では少し難しい単語だと判…

連続関数と可測関数の合成がまた可測関数になることを示す． 定理． 関数 を連続とする． または有限な値を持つ実数値可測関数とする． このとき，も可測関数である． 可測であること（証明） の開基として，開区間をとることができる． は連続であるからと…

定義．（ほとんどすべて a.e.） に対する命題が，ある零集合の点を除いては成立するとき 命題はほとんどすべて（almost everywhere）のに対して成り立つ，といい a.e. と表す．□ 注意． 考える集合が明らかな場合，は省略可能である．□稠密でかつ零集合であ…