そういうわけで，違う凸関数を用いればうまくいくんじゃないか？という方針が見える． もう少し粘ってみよう．

どちらの不等式も強力な不等式である．2つの不等式を鑑賞していたときだった． ふと「イェンゼンの不等式」はいかなる凸関数を持ってきても成り立つ， 適用範囲が大きい不等式であるから，「イェンゼンの不等式」⇒「並べ替えの不等式」という証明が成り立ち…

問． 1個のさいころを4回続けて投げ，出た目を1回目から順にとするとき，次の問いに答えよ．ただし，さいころは1回投げると1，2，3，4，5，6の目がそれぞれ等しい確率で出るものとする． (1) となる確率を求めよ． (2) のうち，異なるものが3種類以下となる…

以下の流れで解答した．1) からを求める 2) 三角関数の加法定理でを求める 3) 正弦定理で外接円の半径を求めるしかし，既に2つの角のコサインが分かっているのだから， 残りひとつもあっという間に出そうなものなのに…． もどかしさが募る．

小問集合である． １． (1) 2次方程式 の2つの解を とするとき， の値を求めよ． (2) 方程式 を解け． (3) △ABCにおいて，∠A，∠Bの大きさをそれぞれで表すとき，，であるとし，さらに辺ABの長さはであるとする．このとき，△ABCの外接円の半径を求めよ．解） …

問． を満たす整数の組を求めよ．□解1） について解くとである． 左辺が整数であるから，右辺の分数も整数である． つまりより，を得る． よりである． よって，が求める整数の組である．□解2) 両辺にをかけるととなる． ここでであるから，である． 計算す…

数学難問集100から．問． のとき，を示せ．一般に次の不等式が成り立つ．命題．（チェビシェフの不等式） ，とする． このとき，不等式 が成立する．□さらに3をにかえても成立する．（証明） 両辺を3倍し，（右辺）−（左辺）を計算する． マイナスをはさんで…

不等式が好きなので，よく目にとまる． 次の不等式は頻出の問題である．問． ，，とする．次の不等式を示せ． (1) (2) 解） (1) ．(2) （(1)より） （(1)より） （より） ．

多項式の積分は結局，次が分かっていればなんとでもなる． ．

定義．（床関数） を超えない最大の整数 と定義し，この関数を床関数という．□大まかにいうと小数点以下を切り捨てる関数であるといえるが， どこのサイトにも書かれているとおり，負の数に対しては注意が必要である．例． ． ． ． ． （←ここが注意）床関…

問． 1から6の数字から重複を許して3個の数字を選ぶ組み合わせは何通りか．□基本的な重複組み合わせである． この問は次のように言い換えられる．問’． を満たす整数の組み合わせは全部で何通りか．□ここでとし，とすることで，次の問題に言い換えられる．問…