定理． ハウスドルフ空間 の部分集合 がコンパクトならば， は の閉集合である．こういう定理を勉強したことも忘れていた． 改めてみるととてもかっこいい定理だと思う． さらにその証明はとても勉強になる．素晴らしい定理だ．

間違いを発見したので修正した．

この極限の問は，論法を学ぶ際には避けて通れない．問1． ならば，．収束する数列の平均値も同一の極限値に収束するという，有名な事実であり，かつこの事実は論法を使わなければ証明できないので解析学の入門書には必ず登場する．（例えば，高木貞治『解析…

昔の一瞬のささいなできごとこそ，書き留めておく価値がある．少し前，大学というところに通っていたころ． ある先輩と食事をしていたときの話． その先輩はすごすぎる方で，探究心と知識の塊のような方だった． そんな先輩に質問した．I「先輩，超準解析っ…

高校の教科書に登場する，三角関数の微分はこの式が出発点になる． ．こうして登場するについての諸事情（証明法・循環論法になること・条件収束と絶対収束…など）は，あらゆるサイトに書かれているから，改めて私が書くことはない．私が書きたかったことは…

定理．（微分積分学の基本定理） が成立する．ただし，は定数である．あまりにも有名な式だが，問題に登場するときには少し変化してくる．例えばこんな感じだ．問． 次のについての関数を微分せよ． ．これを何も考えずに微分積分学の基本定理をつかってしま…

なんだかバリバリの実数論・級数論の記事になってしまった． そこまでがっちりした話がしたくて毎日書いているわけではなく， 気軽に書ける・読める記事を目指していたはずなのに． いつの間にかのりのりで書いてしまっていた．そもそもこの級数は条件収束の…

昨日の記事 http://d.hatena.ne.jp/orz107orz/20140123/1390478210 で「雰囲気が味わえる」と書いたのは，和の個数がからまでと偶数個の場合のみだからだ． しかし，次の定理を使えばが成立することが示せる．定理．（ライプニッツの補題） 正数列 が ならば…

このような等式を知った． ． （１） この等式を用いれば区分求積法から， となるから，の雰囲気が味わえる．（１）の証明は数学的帰納法による． （証明） の場合，（左辺）かつ，（右辺）より成立する． の場合に成立すると仮定して，の場合を示す． この…

次の常微分方程式を考える． ．常微分方程式の講義を受けたことがある方々は即座に， 作用素を用いて からとして求めると思う．ただこの方法だと公式的で，解き方を忘れたらアウト，という心配がつきまとう． また突然の因数分解（二次方程式の解）に面食ら…

ガンマ関数に触れたのは高校三年生の頃だった． 当時，高校の図書館にあった，大学生向け？の本に記載されていた． とはいえ，当時の私は広義リーマン積分を知らなかったので雰囲気だけしか味わえなかった．大学入学後，教養の数学で再び出会い，基本は学ん…

有名な公式たる1/6公式を載せておこう． ． 教科書にも載っている．この手の公式は色々なバリエーションがある．1/3公式や1/12公式がそれだ． しかし…あまりにも公式化しすぎるのはどうなんだろう． 問題を作った大学側からは煙たがられるかもしれない．（追…

問題は各所に落ちているので，そちらを参照いただこう．昨年度，強烈な問題だった数学IAは予想通り易化し，例年並みの難易度に落ち着いた． 数学II・Bも難易度は例年並みだった． 受験生は安心して問題が解けたと思う．気を抜かずに二次試験に向けて勉強に励…

センター試験ではあまり出題されないと思うが，西暦に関する問題はよく見かける． というわけで，は覚えておいて損はない．

明日あさってはセンター試験。 直前たる今日は、暗記できるものを徹底的に頭に詰め込んでいるところだと思う。あさっては数学がある。 センター試験を受ける人はほぼ全員外部模試を受けていると思う。 数学に限ったことではないが、何度も模試を解く中で、 …

威力のある不等式を紹介し，証明する．命題．（ヤングの不等式） が を満たすとする．に対して が成立する．（証明） 任意のを固定し，と定める． 変数について微分してとなる． よりとなるはである． であり，より関数はにおいてとなる． は任意であったか…

ちょっと実験したところ，次のことが分かった．たぶんあみだくじの原理の一表現だと思う．たぶん． ここでは置換に対して，と定義する．命題． 次対称群の巡回置換と互換について次の等式が成立する． (1) (2) ただし，とする．(1)の証明は各のふるまいを見…

問． クラインの四元群は四次対称群の正規部分群であることを示せ．正規部分群の定義が成立するか確かめる問題だが， ＃なので全部確かめるのは面倒だと思う． 何かいい方法はなかろうか．

最近平面図形の内容が若干多めなのは，今集中して勉強しているからだ． 同時進行で群論の勉強もしているが，こちらは一筋縄ではいかない．

このような定理があることを知った．定理．（チャップルの定理） の外心を，内心を，外接円の半径を，内接円の半径をとする．このとき が成り立つ．この定理から即座に次の不等式が導ける．系．（オイラーの不等式） の外接円の半径を，内接円の半径をとする…

方べきの定理について，あまり教科書的ではないことを書いておく． 定理．（方べきの定理） 上の図形について以下の等式が成立する． ．教科書的な証明は三角形の相似を用いる．（証明） とにおいて， 仮定より円周角の定理を用いると ∽ がわかる． 相似な三…

数学の過去問を沢山やっていると，毎年似たような問題ばかりということがわかる． しかし，受験生にはそれだけの量をこなす余裕はないかもしれない． 限られた回数の模擬試験で如何に傾向や流れを掴むかにかかっているということだ．こうして考えてみると，…

証明の流れが独特だ． まず，シロー部分群の存在をいうのに苦労するが面白い． 存在が言えた後はシロー部分群の個数は一体何個あるのか，に関心が向くが， これも部分群の両側分解を用いると判明する辺りが特徴的だ．しかし一向に教科書が進まない． 別に期…

(1)も(2)もどちらも方針はの項を消去するのが目的である．

大学初等レベルの微分積分学の教科書には必ず記載されている， を計算するための手法は思いつきにくい． (1)の場合，(2)の場合といずれの場合も変数変換を行う．(1)の場合 （突然ではあるが）と変数変換すれば計算可能である．(2)の場合 二次式に二つの相異…

補題．有限アーベル群の位数が素数で割り切れるならば，位数の元が存在する．いかに自分が数学をさぼってきたかが実感できる問題だった． 初等整数論を勉強するべきだ，とよく分かったので頑張ろうと思う．