無理関数を含む積分 - べっこう色の記録

大学初等レベルの微分積分学の教科書には必ず記載されている，
$\int \frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx$ を計算するための手法は思いつきにくい．
(1) $a>0$ の場合，(2) $a<0$ の場合といずれの場合も変数変換を行う．

(1) $a>0$ の場合
（突然ではあるが） $\sqrt{ax^2+bx+c}=y-\sqrt{a}x$ と変数変換すれば計算可能である．

(2) $a<0$ の場合
二次式 $ax^2+bx+c$ に二つの相異なる実根 $\alpha, \beta(\alpha<\beta)$ が存在とすると仮定してよい．
このとき（突然） $y=\sqrt{\frac{x-\alpha}{\beta-x}}$ と変数変換すれば計算可能である．