問． とするとき，を示せ．もう一度考え直す．2乗を出すより1乗を出したほうが自然のような気がする．（解） ． について解くと，示すべき式が得られる．（終）

今、少し難しい数学的帰納法をやっている。 なんだろう、少し変なのだ。

この話は最終的にはもちろん非ユークリッド幾何の話に行き着いてしまうのだが… そこの手前，この公準が仮定されれば何ができるのかという話である．まず簡単に分かるのは，次の錯角の話である．定理． 平行線の錯角は等しい．□中学校で習う，大変有益な定理…

誘惑に負けて、動画なんぞを見ている。 勉強しようかな、と悩んでいる時間が一番の無駄だな。

もう少しいい方法があるかもしれないが，思いつかないのでこのままアップロードする．問． とする．このときを示せ．□（証明） とする． 数列が十分大きいについては単調減少列であることを示す． 隣接二項の比がであるから， となるすべてのに対してが成立…

反復する確率は漸化式に直す．

定積分に関する典型問題をひとつ．問． とするとき，を示せ．解． 部分積分法を実行する． ． について解くと，を得る．

群論の理論が分かっても、はっきり言ってさっぱりわかっていない。 理由は簡単で、具体例が分からないからである。 例に定理を適用して初めて分かることもある。 ここに群の例をまとめて、参照して、覚えるようにしたいと思う。例．（自明なもの） は明らか…

問． 四面体OABCにおいて，辺OAの中点をP，辺BCを2:1に内分する点をQ，辺OCを1:3に内分する点をR，辺ABをに内分する点をSとする．ただし，とする．また，とおくとき，次の問いに答えよ． (1) をおよびで表せ． (2) をおよびで表せ． (3) 線分PQと線分RSが交…

確率変数に対して，確率分布が与えられているとする． このとき期待値を次の式で定義する． ．さてこの定義を見て，次を求めよといわれたらどうするだろうか． 『2つの確率変数に対して，期待値を求めよ．』

問． (1) をで表せ． (2) をで表せ． (3) 関数のにおける最大値と最小値を求めよ．(1)，(2)は典型的な三倍角の公式で，三角関数の加法定理を用いるのみ．解 (1) ．(2) ．(3) (1)および(2)を用いて関数を変形すると 三角関数の合成をおこなうと ただし，であ…

ジョルダン標準形をまた計算している． 2次正方行列の場合で大体の流れは思い出せる． ただ，計算時に使う定理を証明せよといわれれば難しい．

問．（水の問題） ，とする．空間内において，原点と点Pを結ぶ線分を，軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に水を満たし，原点から水面までの高さがのとき単位時間あたりの排水量がとなるように，水を排出する．すなわち，時刻tまでに排出され…

数学Bで学ぶことになるこの話題を取り上げる． 数列の初項から第項までの和をとすると， かつ が成り立つ． 教科書の問を解くとほぼ100%，の場合も一般項は成り立つのである． こうなると逆に成り立たない例は何だろうか，という問が生まれる． しかしこの問…

今回は自力をつけるべく少しずつ場合分けして求めた． 実践的には余事象を使い，求めるべきだ．(2)(別解） 求める事象の余事象はが4個異なる場合である． これは通りである． 余事象の確率は． 求める事象の確率は．