問.(水の問題)
,とする.空間内において,原点と点Pを結ぶ線分を,軸のまわりに回転させてできる容器がある.この容器に水を満たし,原点から水面までの高さがのとき単位時間あたりの排水量がとなるように,水を排出する.すなわち,時刻tまでに排出された水の総量をとおくとき,が成り立つ.このときすべての水を排出するのに要する時間を求めよ.□
原点に頂点がある逆円錐の容器に水を張り,「ある早さ」で水を抜いていくとどれくらいで抜けるか,という問いである.
本来ならこの「ある早さ」を数式に翻訳するのが大変であり,
「時刻 での水の流入速度 = 時刻 における水面の面積 × 時刻 における高さの上昇速度」
で求められる.ここではありがたいことに問題文の「すなわち」以下に書いてある.
よってただ誘導に乗ればよい.
ちなみに,水の高さは水が抜ければ変わっていくので,時刻に依存する関数である.
(解)
時刻での水の排出量を求める.
ここでの水の高さはであり,底面の円の半径はであるから
(円錐の体積)−(ここでの円錐の体積)
が得られる.水が排出される早さは,問題文からであるから
合成関数の微分法を用いると
となる.両辺を整理して
となる.ここで積分変数をに変え,両辺をからまで積分する.
.
上の式でであることに注意する.
すべての水を排出したときの時刻をとすると,であるから,
整理するとを得る.(終)