ある命題への広義リーマン積分の例

新装版数学公式集をながめていたら，次の記述を見つけた。

$f,g$ が広義リーマン積分可能であっても，2つの関数の積 $fg$ が広義リーマン積分可能とは限らない。

確かにそのとおりになりそうな命題であるが，具体例を挙げなければ理解した気にはならないだろう。
ここしばらくの間，遠方，つまり $\int_a^\infty$ での例を考えていたのだが，なかなか難しい。
残念だが一旦保留し，解析入門 (岩波全書 325)を参考にして有限区間で例を作ることにした。

例．
$\displaystyle f(x)=g(x)=\frac{\sin x}{x^\frac{3}{2}}$ として，区間 $(0,\frac{\pi}{2})$ で広義リーマン積分可能か調べる。
上端 $\frac{\pi}{2}$ は問題ない。
下端は
$\sqrt{x}f(x)=\frac{\sin x}{x} \to 1$ as $x \to +0$
より0でも広義リーマン積分可能である。

一方 $f(x)g(x)=(f(x))^2=\frac{\sin^2 x}{x^3}$ はジョルダンの不等式により
$\sin x \geq \frac{2}{\pi} x$ であるから $f(x)g(x) \geq \frac{4}{\pi^2} \cdot \frac{1}{x}$ となる。
与えられた区間での最右辺の積分は
$\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{4}{\pi^2} \cdot \frac{1}{x} dx =\frac{4}{\pi^2} [ \log x ]_0^\frac{\pi}{2}=\infty$ で発散するから， $fg$ も発散する。

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

ある命題への広義リーマン積分の例