思ったより集合体であることを示すのに時間がかかっている。 補題一つに入力が一日かかってしまう。

ルベーグ可測集合はルベーグ外測度とルベーグ内測度の一致で定義される場合が多い． ここでルベーグ内測度はコンパクト集合で定義するので，位相が関わりそうだ． 一方でカラテオドリの条件で可測性を定めるなら，この問題はひとまず考えなくてよくなる． ま…

色々なものが前に立ちふさがって勉強がはかどらない。 8時間睡眠が要る自分がこの時間まで起きて勉強しても足りない。 そもそも頭が足りていないことは自覚している。

補題． かつならば任意のに対してが成り立つ．□ （証明） 数学的帰納法を用いる．はカラテオドリの条件の式そのものである． で成立すると仮定する．すなわち が成り立つとする．ここでからカラテオドリの条件を用いると次の式が成立する． ． ここで，各ど…

補題． 1)． 2)． 3)．□ 1)． は零集合なのでルベーグ可測集合である．2)． 任意のに対して， かつ が成り立つので示される．3)． 任意のに対して， （を任意の集合とみてのカラテオドリの条件を用いた） （のカラテオドリの条件を用いた） ． （のカラテオ…

１．ルベーグ外測度はカラテオドリの外測度の条件を満たす ２．ルベーグ外測度でカラテオドリの条件を満たす集合系は集合体となる ３．ルベーグ外測度を集合系上に制限すると測度となる今回は下線を示す． 定義．（） の集合でカラテオドリの条件を満たす集…

記事どうしのまとまりがなくなってきた。 ある程度たまってきたら、きれいに見出しをつけてまとめよう。

定義8．（ルベーグ外測度） for all と定める．このをルベーグ外測度という．□ 今からの流れは以下のようである． １．ルベーグ外測度はカラテオドリの外測度の条件を満たす ２．ルベーグ外測度でカラテオドリの条件を満たす集合系は集合体となる ３．ルベー…

定義7．（集合環，集合体） 集合． とする． が次の二条件を満たすとき集合環という． （i） ならば （ii） ならば 二条件に加え次の条件を満たすときを集合体という． （iii） □

予定ではカラテオドリの条件を満たす集合系は集合体であること示したい。 そしてがカラテオドリの外測度であることを示す。集合体であることをいった後は、ボレル集合体と内測度の話をする。 最後にルベーグ非可測な集合の存在を示した後、いよいよルベーグ…

最高の命題は次の命題である．命題． が成立する．□この証明が少し大変である．

命題． 集合とそのべき集合の濃度について次の不等式が成り立つ． ．□（証明） 単射により，である． 背理法．と仮定すると，全単射写像が存在する． 集合を考える． 写像は全単射であるから，あるが一意的に存在してが成立する． このときまたはのいずれか…

定義5．（カラテオドリの外測度） 集合に対して，上の関数が次の三つの条件を満たすとき， をカラテオドリの外測度という． （i） かつ for （ii） ならば （iii） for □ 「集合の外側から測度を調べる」ための道具にはこの性質たちが要となっているのである…

この項目の目標は以下の定理を証明することである． 定理1． 前回定めたは，上の測度である．□ 証明をするために，次の三つの補題を証明する． 補題1． ならばが成り立つ．□ つまり集合の大小関係は測度においてもそのまま保たれるということである．（証明…