安田亨先生の伝説の良問100を読んでいたら，次の問題があった。問． 男性が2人，女性が2人いる。各々は自分の異性をでたらめに1人指名する。 互いに相手を指名すればカップルが成立するものとして， ちょうど1組カップルが成立する確率を求めよ。n人まで一般…

ルベーグの優収束定理を用いて，微分と積分の交換可能の条件を求める．定理 上の関数が次の条件を満たすとする． 1) 各に対してはで積分可能である． 2) は存在し，ある1変数関数でとなるものが存在する． このときが成立する．

定理（ルベーグの優収束定理） 関数列は次の条件を満たすとする． 1) a.e. 2) あるですべてのに対して a.e.を満たすものが存在する． このときが成立する．注意 1) 関数列にの条件を課す必要はない． 2) と積分との交換がこのような単純な条件でできることが…

補題（ファトゥの補題） ならば が成り立つ．（証明） 関数列を考える．各に対して であるから，単調収束定理が使える． で従う．（証明終）

ベッポ・レヴィの定理を用いると単調収束定理が証明できる．定理（単調収束定理） に対して が成り立つ．（証明） とおく． に注意してベッポ・レヴィの定理を用いればよい．（証明終）

単調増加な列に対する収束定理を取り扱う． 収束定理とは，と積分の順序交換を保証する定理である．定理（ベッポ・レヴィの定理） 非負可測関数列に対して， が成り立つ．この等式の右辺または左辺が無限大であれば，両辺共に無限大となる．積分範囲が示され…

いよいよルベーグ積分の定義に入っていこう．[1] 非負単関数 非負単関数に対して，そのルベーグ積分を と定義する．[2] 非負可測関数 非負可測関数に対して，そのルベーグ積分を はを満たす非負値単関数 と定義する．可測集合上の積分はに指示関数を乗したも…

定義（単関数） 値を有限個しか持たない関数を単関数という．ただし値としてを許す． 数式で表すとが単関数であるとは次のとおりである． および相異なる実数を用いて とかけることである．ここでは集合の指示関数（特性関数）といい のときで，のときを満た…

このルベーグ積分の話を始めた２年以上前の記事を見ると次のようなことが書いてある．「すべての話の始まりは，様々な図形の面積・体積を測るにはどうすればいいかということだ． 素朴に考えると，長方形の面積・体積を定義し， 他の図形は長方形の近似で考…