ルベーグ積分の収束定理（ファトゥの補題）

補題（ファトゥの補題）
$f_j \geq 0$ ならば
$\displaystyle \int \liminf_{j \to \infty} f_j dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int f_j dm$
が成り立つ．

（証明）
関数列 $\displaystyle g_j :=\inf_{j \leq k} f_k$ を考える．各 $j$ に対して
$g_j \leq f_k (j \leq k)$
$\displaystyle \int g_j dm \leq \int f_k dm (j \leq k)$
$\displaystyle \int g_j dm \leq \inf_{j \leq k} \int f_k dm$
$\displaystyle g_1 \leq g_2 \leq g_3 \leq \cdots \to \liminf_{j \to \infty} f_j$ であるから，単調収束定理が使える．
$\displaystyle \int \liminf_{j \to \infty} f_j dm$
$\displaystyle =\int \lim_{j \to \infty} g_j dm$
$\displaystyle =\lim_{j \to \infty} \int g_j dm$
$\displaystyle \leq \lim_{j \to \infty} \inf_{j \leq k} \int f_k dm$
$\displaystyle = \liminf_{j \to \infty} \int f_jdm$
で従う．（証明終）

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

ルベーグ積分の収束定理（ファトゥの補題）