ルベーグ積分の収束定理（ルベーグの優収束定理）

定理（ルベーグの優収束定理）
関数列 $\{ f_j \}_{j=1}^\infty$ は次の条件を満たすとする．
1) $f_j \to f$ a.e.
2) ある $g \in L^1$ ですべての $j$ に対して $|f_j| \leq g$ a.e.を満たすものが存在する．
このとき $\displaystyle \lim_{j \to \infty} \int f_j dm = \int \lim_{j \to \infty} f_j dm = \int f dm$ が成立する．

注意
1) 関数列に $L^1$ の条件を課す必要はない．
2) $\lim$ と積分との交換がこのような単純な条件でできることが，ルベーグ積分が優れている点のひとつである．

（証明）
$|f_j| \leq g$ a.e
より
$-g \leq f_j \leq g$ a.e.
であるから
$0 \leq g+ f_j \leq 2g, 0 \leq g -f_j \leq 2g$ a.e.
ファトゥの補題から
$\displaystyle \int \liminf_{j \to \infty} ( g+ f_j )dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int (g +f_j)dm$
より
$\displaystyle \int (g+f) dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int (g +f_j)dm$
から
$\displaystyle \int f dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int f_j dm$
である．また
$\displaystyle \int \liminf_{j \to \infty} ( g-f_j )dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int (g -f_j)dm$
より
$\displaystyle \int (g-f) dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int (g - f_j)dm$
から
$\displaystyle \int (-f) dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int (- f_j)dm$
となるので
$\displaystyle \int f dm \geq \limsup_{j \to \infty} \int f_jdm$
である．つまり
$\displaystyle \limsup_{j \to \infty} \int f_jdm \leq \int f dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int f_j dm$
でこれは $\displaystyle \lim_{j \to \infty} \int f_j dm = \int f dm$ を意味する．（証明終）

系（有界収束定理）
$m(E) < \infty$ で，関数列 $\{ f_j \}_{j=1}^\infty$ は次の条件を満たすとする．
1) $\{ f_j \}_{j=1}^\infty$ は $E$ で概収束する．
2) ある $M \in \mathbb{R}$ ですべての $j$ に対して $|f_j| \leq M$ a.e. となるものが存在する．
このとき $\displaystyle \lim_{j \to \infty} \int_E f_j dm = \int_E \lim_{j \to \infty} f_j dm$ が成り立つ．

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

ルベーグ積分の収束定理（ルベーグの優収束定理）