ルベーグ積分の収束定理（ベッポ・レヴィの定理）

単調増加な列に対する収束定理を取り扱う．
収束定理とは， $\lim$ と積分の順序交換を保証する定理である．

定理（ベッポ・レヴィの定理）
非負可測関数列 $\{ f_j \}_{j=1}^\infty$ に対して，
$\displaystyle \int \sum_{j=1}^\infty f_j dm =\sum_{j=1}^\infty \int f_j dm$
が成り立つ．この等式の右辺または左辺が無限大であれば，両辺共に無限大となる．

積分範囲が示されていないが，これは任意の可測集合上で，という意味である．

（証明）
$\displaystyle \int \sum_{j=1}^\infty f_j dm \geq \int \sum_{j=1}^n f_j dm = \sum_{j=1}^n \int f_j dm$ であり，
この式の極限をとることで $\displaystyle \int \sum_{j=1}^\infty f_j dm \geq \sum_{j=1}^\infty \int f_j dm$ が従う．
逆向きの不等号を示す． $f=\displaystyle \sum_{j=1}^\infty f_j$ とおく．
関数列の各関数に対して
$f_{11} \leq f_{12} \leq f_{13} \leq \cdots \to f_1$
$f_{21} \leq f_{22} \leq f_{23} \leq \cdots \to f_2$
$f_{31} \leq f_{32} \leq f_{33} \leq \cdots \to f_3$
$\cdots$
$f_{j1} \leq f_{j2} \leq f_{j3} \leq \cdots \to f_j$
$\cdots$
で $\displaystyle \lim_{k \to \infty} \int f_{jk} dm = \int f_j dm$ となる単関数の列がとれる．
$\displaystyle s_k = \sum_{j=1}^k f_{jk}$ と定める．
この関数列 $\{ s_k \}_{k=1}^\infty$ で $f$ の積分が与えられることを示す．
$\displaystyle s_k= \sum_{j=1}^k f_{jk} \leq \sum_{j=1}^k f_{j \, k+1} \leq \sum_{j=1}^{k+1} f_{j \, k+1} = s_{k+1} \leq f$
および
$\displaystyle \sum_{j=1}^\ell f_j =\lim_{k \to \infty} \sum_{j = 1}^\ell f_{jk} \leq \lim_{k \to \infty} \sum_{j=1}^k f_{jk} = \lim_{k \to \infty} s_k$
で $\ell \to \infty$ として， $\displaystyle f \leq \lim_{k \to \infty} s_k$ となるから， $\displaystyle f=\lim_{k \to \infty} s_k$ である．
よって， $\displaystyle \int f dm = \lim_{k \to \infty} \int s_k dm$ が得られる．左辺は
$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \int \sum_{j=1}^k f_{jk} dm \leq \lim_{k \to \infty} \int \sum_{j=1}^k f_{j} dm = \sum_{j=1}^\infty \int f_{j} dm$
となるので $\displaystyle \int \sum_{j=1}^\infty f_j dm \leq \sum_{j=1}^\infty \int f_j dm$ が従う．（証明終）

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

ルベーグ積分の収束定理（ベッポ・レヴィの定理）