べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

2017-01-14

微分と積分の交換可能の条件

ルベーグの優収束定理を用いて，微分と積分の交換可能の条件を求める．

定理
$\mathbb{R}^2$ 上の関数 $f$ が次の条件を満たすとする．
1) 各 $x$ に対して $f(x,y)$ は $y$ で積分可能である．
2) $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ は存在し，ある1変数関数 $g \in L^1$ で $\displaystyle |\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)| \leq g(y)$ となるものが存在する．
このとき $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \int_\mathbb{R} f(x,y)dm(y) = \int_\mathbb{R} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)dm(y)$ が成立する．