岩手大学2018農学部第4問を解く

最初，一般の $r>0$ でやらせるわりには，途中から $r=1$ で固定するためうまみの少ない問題である。
いつもどおりのルートの混じった定積分が登場するが，慌てずに因数分解して公式を使おう。

４．
$x<0$ の範囲において，直線 $\ell$ が放物線 $C_1$ $y=-\frac{1}{2}x^2-r$ と円 $C_2$ $x^2+y^2=r^2$ の両方に接している。 $r>0$ とする。
このとき，次の問いに答えよ。

(1) 円 $C_2$ に接する直線の方程式を $ax+by+c=0$ とするとき， $r$ を $a,b,c$ を用いて表せ。ただし， $a,b,c$ は定数とする。
(2) $r=1$ のとき，直線 $\ell$ の方程式を求めよ。
(3) $r=1$ のとき，直線 $\ell$ と放物線 $C_1$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

解）
(1)
円 $C_2$ の中心は原点であり，原点と直線の距離が半径 $r$ に等しいとき接するから，
$r=\frac{|c|}{\sqrt{a^2*b^2}}$ である。

(2)
放物線 $C_1$ の接線の接点を $(t, -\frac{1}{2}t^2-1)$ とおく。
$y'=-x$ であるから，接点での接線の傾きは $-t$ であるから，接線の方程式は
$y-(-\frac{1}{2}t^2-1)=-t(x-t)$
である。一般形に整理して
$tx+y-\frac{1}{2}t^2+1=0$
である。(1)より
$\frac{|-\frac{1}{2}t^2+1|}{\sqrt{t^2+1}}=1$
分母を払って，両辺を2乗して整理すると
$t^2(t^2-8)=0$
$t=0,\pm 2\sqrt{2}$
$t<0$ より $t=-2\sqrt{2}$
を得る。以上より接線の方程式は $y=2\sqrt{2}x+3$ である。

(3)
求める面積は
$\int_{-2\sqrt{2}}^{0}( ( 2 \sqrt{2}x+3)-(-\frac{1}{2}x^2-1))dx$
$=\int_{-2\sqrt{2}}^{0}(\frac{1}{2}x^2+2\sqrt{2}x+4)dx$
$=\frac{1}{2} \int_{-2\sqrt{2} }^{0} (x+2\sqrt{2})^2dx$
$=\frac{1}{2} [ \frac{1}{3} (x+2\sqrt{2} )^3 ]_{-2 \sqrt{2}}^{0}$
$=\frac{8 \sqrt{2}}{3}$
である。

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

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