岩手大学2015農学部第5問を解く

問．
(1) $\sin 3 \theta$ を $\sin \theta$ で表せ．
(2) $\cos 3 \theta$ を $\cos \theta$ で表せ．
(3) 関数 $y=-8 \sin^3 \theta + 6\sin \theta -3 \cos \theta +4 \cos^3 \theta +1$ の $\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi$ における最大値と最小値を求めよ．

(1)，(2)は典型的な三倍角の公式で，三角関数の加法定理を用いるのみ．

解
(1)
$\sin 3 \theta$
$=\sin(2\theta + \theta)$
$=\sin2\theta \cos \theta + \cos2\theta \sin \theta$
$=2\sin \theta \cos^2 \theta +(1-2sin^2 \theta)\sin \theta$
$=2\sin \theta (1-\sin^2 \theta) +(1-2sin^2 \theta)\sin \theta$
$=3\sin \theta -4 \sin^3 \theta$ ．

(2)
$\cos 3 \theta$
$=\cos(2\theta + \theta)$
$=\cos 2 \theta \cos \theta - \sin 2 \theta \sin \theta$
$=(2\cos^2 \theta -1)\cos \theta -2\sin^2 \theta \cos \theta$
$=(2\cos^2 \theta -1)\cos \theta -2(1-\cos^2 \theta) \cos \theta$
$=4\cos^3 \theta -3\cos \theta$ ．

(3)
(1)および(2)を用いて関数を変形すると　 $y = 2 \sin 3 \theta + \cos 3 \theta + 1$
三角関数の合成をおこなうと　 $y = \sqrt{2} \sin (3 \theta + \alpha) + 1$
ただし， $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}, \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ であり， $\frac{3}{2} \pi \leq 3 \theta + \alpha \leq 3 \pi +\alpha$ である．
単位円を描き（省略）最大・最小値を求めると
$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値 $\sqrt{5}+1$ ， $\theta = \frac{3}{2} \pi$ のとき最小値3である．

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

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