対称群（巡回置換・互換・あみだくじの原理）

ちょっと実験したところ，次のことが分かった．たぶんあみだくじの原理の一表現だと思う．たぶん．
ここでは置換 $\sigma,\, \tau \in S_{n}$ に対して， $\tau\sigma=\tau \circ \sigma$ と定義する．

命題．
$n$ 次対称群 $S_{n}$ の巡回置換と互換について次の等式が成立する．
(1)　 $(i_{1} \, \, i_{2}\, \, \cdots \, i_{r})=(i_{1}\,i_{r})(i_{1}\,i_{r-1})\cdots(i_{1}\,i_{2}).$
(2)　 $(i_{r} \, i_{s})=(i_{r}\,i_{r+1})(i_{r+1}\,i_{r+2})\cdots(i_{s-2}\,i_{s-1})(i_{s-1}\,i_{s})(i_{s-2}\,i_{s-1})\cdots(i_{r}\,i_{r+1}).$
ただし， $i_{r} < i_{s}$ とする．