べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

等式とその極限２（ライプニッツの補題）

数学 解析学

昨日の記事
http://d.hatena.ne.jp/orz107orz/20140123/1390478210
で「雰囲気が味わえる」と書いたのは，和の個数が1から2nまでと偶数個の場合のみだからだ．
しかし，次の定理を使えば\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}+\cdots=\log 2が成立することが示せる．

定理．（ライプニッツの補題）
正数列 \displaystyle \{ a_{n} \}_{n=1}^{\infty} が a_{1} \geq a_{2} \geq \cdots \to 0ならば交代級数
　\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{n}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\cdots
は収束する．

（証明）
まず，1から2mまでの和，\displaystyle s_{m}:=\sum_{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\cdots +a_{2m-1}-a_{2m} が収束することを証明する．
そのために数列\{ s_{m} \}_{m=1}^{\infty}がmについて上に有界な単調増加数列であることを示す．
単調増加数列であることは
　a_{2m-1} - a_{2m} \geq 0, m \in \mathbb{N}　（１）
を用いると，
　 s_{m+1}=s_{m}+(a_{2m+1}-a_{2m+2}) \geq s_{m}
となることから従う．
上に有界であることは，再び（１）を用いると
　s_{m}=a_{1}-(a_{2}-a_{3})-\cdots -(a_{2m-2}-a_{2m-1})-a_{2m} \leq a_{1}
となることから従う．以上より数列\{s_{m} \}_{m=1}^{\infty}が収束することが示された．その極限をsとおく．
次に，1から2m+1までの和が収束することを示せばよい．ここで
　\displaystyle \sum_{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}=s_{m}+a_{2m+1}
より，両辺でm \to \inftyとすると，仮定よりa_{2m+1} \to 0であるから
　\displaystyle \lim_{m \to \infty} \sum_{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n} = \lim_{m \to \infty} s_{m} =s
となる．これは奇数の場合でも収束し，その極限がsであることを示している．（証明終）