曲線の長さを極座標で - べっこう色の記録

曲線が $x=x(t),y=y(t)$ （ $a \leq t \leq b$ ）と表されているとき，その曲線の長さ $L$ は
　 $\displaystyle L=\int_a^b \sqrt{(\frac{dx }{dt}(t))^2+(\frac{dy }{dt}(t))^2}dt$

この式の意味をおおまかに考える。
$x$ 方向の小さい変化 $\Delta x$ に対して，この曲線の $y$ 方向が $\Delta y$ と変化しているとする。
この分の曲線の長さはピタゴラスの定理で $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ で求められる。
あとはこれらの曲線を足し合わせて極限をとれば， $\int \sqrt{(d x)^2+(d y)^2}$ …(1)となる。
最後に $dx=\frac{dx}{dt}dt$ などとパラメータの微分と思えば上式が導ける。

ところで(1)の式を極座標でとりなおす。つまり $x=r \cos \theta , y=r \sin \theta$ とする。
このとき $d$ は微分と同じ法則で残すことにする。
例えば $d(fg)=d(f) \cdot g+f \cdot d(g)$ や $d(\sin \theta)=\cos \theta \cdot d\theta$ のように。

さて(1)のルートの中身を調べていこう。
$d(r \cos \theta)=dr \cdot ( \cos \theta)-r \sin \theta \cdot (d \theta)$
かつ $d(r \sin \theta)=dr \cdot ( \sin \theta)+r \cos \theta \cdot (d \theta)$ であるから２乗すると，
$(d(r \cos \theta))^2=(dr)^2 \cdot ( \cos^2 \theta) -2 \sin \theta \cos \theta dr d\theta+r^2 \sin^2 \theta \cdot (d \theta)^2$
かつ $(d(r \sin \theta))^2=(dr)^2 \cdot ( \sin^2 \theta) +2 \sin \theta \cos \theta dr d\theta+r^2 \cos^2 \theta \cdot (d \theta)^2$
つまり(1)は $\displaystyle \int \sqrt{(d x)^2+(d y)^2}=\int \sqrt{ (dr)^2 +r^2 (d \theta)^2 }=\int \sqrt{ r^2+ (\frac{dr}{d \theta})^2 }d \theta$

角度のパラメータの積分になっている。場合によってはこれの方が計算しやすいだろう。