可解群の性質 - べっこう色の記録

可解群の性質は比較的保存される．
それらを命題にしてまとめる．

命題
$G$ は可解群で， $N \triangleleft G$ ならば $G/N$ は可解群である．

（証明）
$G$ は可解群であるから，
1) $G=H_0 \triangleright H_1 \triangleright H_2 \triangleright \cdots \triangleright H_r =\{ 1 \}$ という列で，
2) $H_i /H_{i+1}(i=0,1,2, \ldots r-1)$ がアーベル群
を満たすものが存在する．ここで群の部分集合 $A,B$ に対して， $AB=\{ ab \mid a \in A, b \in B \}$ と定める． $AB=BA$ ならば $AB$ は部分群となる．
1)の列に対して $G=GN=H_0N \supset H_1 N \supset H_2 N \supset \cdots \supset H_r N = N$ を作る．
$N$ は正規部分群であるから，列の要素はすべて $G$ の部分群である．
また $H_i \triangleright N,H_i \triangleright H_{i+1}$ から，各 $an \in H_{i}N$ に対して
$(an)^{-1} H_{i+1}N(an)$
$=n^{-1}(a^{-1} H_{i+1})( N a)n$
$=n^{-1}(H_{i+1}a^{-1})(aN) n$
$=n^{-1} H_{i+1}N$
$=n^{-1} N H_{i+1}$
$=NH_{i+1}$
$=H_{i+1}N$
となる．つまり $H_{i}N \triangleright H_{i+1}N$ である．
さらに
$G/N=GN/N=H_0N/N \supset H_1 N/N \supset H_2 N/N \supset \cdots \supset H_r N/N = \{ [ 1 ] \}$
とすれば，第3同型定理より $(H_{i}N/N )/(H_{i+1}N/N) \cong H_{i}N/H_{i+1}N$ である．
第2同型定理より $H_i N/H_{ i+1 } N \cong H_i /( H_{i+1}N \cap H_i)$ で，右辺は $H_i / H_{i+1}$ に含まれるのでアーベル群である．
つまり $G/N$ は可解群である．（証明終）

命題
$N \triangleleft G$ とする． $G/N,N$ がともに可解群ならば $G$ も可解群である．

（証明）
それぞれ可解群であるから，定義を満たす列として
$G/N=H_0/N \triangleright H_1 /N \triangleright H_2 /N \triangleright \cdots \triangleright H_r /N = \{ [ 1 ] \}$
$N \triangleright N_1 \triangleright N_2 \triangleright \cdots N_s=\{ 1 \}$
がとれる．
このとき
$G \triangleright H_1 \triangleright \cdots \triangleright H_r=N \triangleright H_1 \triangleright \cdots N_s$
が $G$ の可解群の定義を満たす列である．（証明終）

命題
$G$ は可解群であれば $G$ の部分群 $H$ は可解群である．

（証明）
$G$ は可解群であるから，
1) $G=H_0 \triangleright H_1 \triangleright H_2 \triangleright \cdots \triangleright H_r =\{ 1 \}$ という列で，
2) $H_i /H_{i+1}(i=0,1,2, \ldots r-1)$ がアーベル群
を満たすものが存在する．1)の列に対して
$H=G \cap H=H_0 \cap H \triangleright H_1 \cap H \triangleright H_2 \cap H \triangleright \cdots \triangleright H_r \cap H=\{ 1 \}$
を作る．第2同型定理より $(H_i \cap H)/(H_{i+1} \cap H) \cong (H_i \cap H)/H_{i+1}$ で，右辺は $H_i /H_{i+1}$ に含まれるのでアーベル群である．
つまり $H$ は可解群である．（証明終）

正直なところ，だらだらと定義を書き下していく証明なので読む気がしないと思う．
証明の肝は可解群の定義から列をとることができるということと，証明したい群を積か共通部分をとるなどして生み出すことである．
これをおさえておけば再現は簡単だろうと思う．