準同型定理 - べっこう色の記録

群はどんな構造になっているのか，が分かればよい．
構造がよく分かっている群と，よく分からない群を橋渡しするのが準同型写像である．

定義（準同型写像）
群 $G$ から群 $G'$ への写像 $f$ が
$f(xy)=f(x)f(y)(x,y \in G)$
を満たすとき， $f$ の準同型写像という．

群の演算が写像を介しても保たれている，ということである．
さらにこの写像が全単射であるとき， $f$ は同型写像であるという．
このとき $G,G'$ は群同型であるといい， $G \cong G'$ とあらわす．
群同型である2つの群は，群としては同一のものとみなしてよい．

少し性質を挙げておこう．

命題
写像 $f$ を群 $G$ から群 $G'$ への準同型写像とする．
1) $(f(a))^{-1} = f(a^{-1})$ ．
2) $f(e)=e$

（証明）
1)
右辺，左辺それぞれに $f(a)$ をかければ確かめられる．

2)
$f(e)=f(ee)=f(e)f(e)$ の最左辺と最右辺に $(f(e))^{-1}$ をかければよい．
（証明終）

準同型写像があるときにいつでも群同型写像が存在することを保証するのが準同型定理である．

定理（準同型定理）
写像 $f$ を群 $G$ から群 $G'$ への準同型写像とする．
核（零空間）を ${\rm Ker}(f) = \{ a \in G \mid f(a)=e \}$ ，像を ${\rm Im}(f)=f(G)$ とおくと
$G/{\rm Ker}(f) \cong {\rm Im}(f)$ （群同型）が成立する．

この定理を証明する際，well-definedであることを示すことがある意味通過儀礼である．
どういうことかというと，群同型であることを示すためにある写像を定めるのだが，
この写像が矛盾なく定義されていること（=well-definedであること）を確かめなければならない．
$T:A \to B$ が写像であるとは $a=a'$ ならば $T(a)=T(a')$ ということが満たされることである．
普通の集合の間の写像であれば基本的に問題は起こらない．
しかし今回は剰余群からの写像を定めることになる．
剰余群は1個の要素が色々な表示をもつので，確かめなければならないのである．

（証明）
写像 $f_*$ を $f_* : G/{\rm Ker}(f) \ni [ a ] \mapsto f(a) \in {\rm Im}(f)$ と定める．

（ $f_*$ がwell-definedであること）
$[ a ] = [ b ] \in G/{\rm Ker}(f)$ とする．
$a{\rm Ker}(f) = b {\rm Ker}(f)$ より，ある $k \in {\rm Ker}(f)$ で $a=b k$ と表せる．
これより $b^{-1} a =k$ であるから $f( b^{-1} a)=f(k)=e$ となる．
$f$ は準同型写像であるから $(f(b))^{-1} f(a) =e$ より $f(a)=f(b)$ である．
つまり写像 $f_*$ はwell-definedである．

（ $f_*$ が準同型写像であること）
$f_*([ a ] [ b ])=f_*( [ ab ])=f(ab)=f(a)f(b)=f_*([ a]) f_*([ b ] )$ による．

（ $f_*$ が単射であること）
$f_*([ a ]) = f_*( [ b ] )$ とすると $f(a)=f(b)$ である．
$(f(b))^{-1} f(a) = e$ から $f(b^{-1} a)=e$ となるので $b^{-1} a \in {\rm Ker}(f)$ である．
任意の $ak \in a{\rm Ker}(f)$ に対して $ak=b(b^{-1}ak) \in b {\rm Ker}(f)$ となる．
つまり $a {\rm Ker}(f) \subset b{\rm Ker}(f)$ である．逆向きの包含関係も同様なので $[ a ] = a{\rm Ker}(f) = b{\rm Ker}(f) = [ b ]$ が従う．ゆえに単射である．