級数の問題を解く（導入） - べっこう色の記録

いくつかの級数の問題は取り扱ってきたものの，初歩の問題はなぜかやらずにきた。面倒だったのかもしれない。
今回はそのような問題たちを扱う。

ところで級数とは何か，という話を初めにしなければならないだろう。
級数（無限級数）とは，無限項の数列の和のことである。
すなわち，数列 $\{ a_n \}_{n=1}^\infty$ に対して $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ のことである。

ここではたと困ることがある。
人間は無限項の足し算などできるはずがないということである。当たり前のことだが大問題といえるだろう。
どうやって無限の足し算をすればいいのだろうか。

解決する手段はこうである。
まず $n=1, 2, \ldots ,m$ ととりあえず第 $m$ 項までの和をつくる。 $\displaystyle S_m=\sum_{n=1}^m a_n$
次にこの $S_m$ の $m$ を限りなく大きくする。つまり $m \to \infty$ とするのである。
このとき $\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_m = \lim_{m \to \infty}\sum_{n=1}^m a_n$ が存在する場合に限り，その極限を無限項の和と解釈するのである。
無限に足さずに極限の解釈をすることで，議論をすりかえている。うまい方法だ。

逆にいえばこの手順で無限項の和を求めればよい，ということになる。
色々なパターンの問題を取り扱っていく。