岩手大学2018農学部第2問を解く

教科書の例題のような問題である。
適切に記号が使えるかどうかを問いたいのだろうか。

２．
初項が5である等差数列 $\{ a_n \}$ と，初項が2である等比数列 $\{ b_n \}$ がある（n=1,2,3,…）。
数列 $\{ c_n\}$ が $c_n=a_n - b_n,c_2=5,c_3=-1,c_4=-31$ で定められるとき，次の問いに答えよ。
(1) 数列 $\{ a_n \}$ の公差dと $\{ b_n \}$ の公比rを求めよ。
(2) $\{ c_n \}$ の一般項を求めよ。
(3) $\{ c_n \}$ の初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。
解）
(1)
初項5，公差dの等差数列であるから $a_n=5+(n-1)d$ ，
初項2，公比rの等比数列であるから $b_n=2r^{n-1}$ ．
$c_2=a_2 - b_2=5+d-2r=5$ …(A)かつ $c_3=a_3 - b_3=5+2d-2r^2=-1$ …(B)となるので，
これを連立方程式と見て解く。(A)×2－(B)とすると $5-4r+2r^2=11$ より $r^2-2r-3=0$ となる．
$(r+1)(r-3)=0$ より $r=-1,3$ が得られる。
ここで $r=-1$ は $c_n=2n-3-2 \cdot (-1)^{n-1}$ より $c_4=7$ で条件を満たさない．
$r=3$ は条件を満たし $d=6$ を得る。これが求める値である．

(2)
(1)に代入することで $c_n=6n-1-2 \cdot 3^{n-1}$ を得る．

(3)
数列 $\{ a_n \},\{ b_n \}$ の初項から第n項までの和をそれぞれ求め引けばよい．
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_n=\sum_{k=1}^{n}(6n-1)$
　　　　 $=\frac{1}{2}n(5+(6n-1))$
　　　　 $=n(3n+2)$ ．
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_n=2\sum_{k=1}^{n}3^{k-1}$
　　　　 $\displaystyle =2\frac{3^n-1}{3-1}$
　　　　 $=3^n-1$ ．
以上より $S_n = n(3n+2) -3^n +1$ である．

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

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