べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

岩手大学2018農学部第5問を解く

数学岩手大学過去問

この年度の問題の中で一番解きやすい問題だ。確実に解きたい。

５．
$a$ を整数とする。整式 $F(x)=x^4+(a+1)x^3+(2a+4)x^2+(a+5)x+1$ について，次の問いに答えよ。
(1) 整式 $F(x)$ が1次式 $x+1$ を因数にもつことを示せ。
(2) $F(x)=(x+1)G(x)$ を満たす $G(x)$ を求めよ。
(3) $G(x)=0$ の解の1つが整数であるとき， $a$ の値を求めよ。

解）
(1)
（証明）
$F(-1)=(-1)^4+(a+1) \times (-1)^3 +(2a+4) \times (-1)^2 +(a+5) \times (-1) +1=0$
であるから，因数定理より整式 $F(x)$ は $x+1$ を因数にもつ。（証明終）

(2)
割り算 $(x^4+(a+1)x^3+(2a+4)x^2+(a+5)x+1) \div (x+1)$ を実行することで
$G(x)=x^3+ax^2+(a+4)x+1$ を得る。

(3)
整数解 $m$ を持つとすると，因数定理より
$m^3+am^2+(a+4)m+1=0 \cdots$ ★
$m^3+am^2+(a+4)m=-1$
$m(m^2+am+(a+4))=-1$
左辺は整数より $m$ は $-1$ の約数であるから， $m=\pm 1$ である。
$m=1$ ならば★に代入して $a=-3$ を得る。
$m=-1$ ならば★に代入すると矛盾する。
よって， $a=-3$ である。