ここには球面三角法の内容が書き込まれる予定…

最近，最大最小値問題を解く機会が多いのだが， すぐに1変数の微分法に頼ってしまう． たしかに増減表を書けばあっさりと解決するが，賢くなった気がしない． 別解で学んでいこう．

問． とするとき，を示せ．もう一度考え直す．2乗を出すより1乗を出したほうが自然のような気がする．（解） ． について解くと，示すべき式が得られる．（終）

今、少し難しい数学的帰納法をやっている。 なんだろう、少し変なのだ。

この話は最終的にはもちろん非ユークリッド幾何の話に行き着いてしまうのだが… そこの手前，この公準が仮定されれば何ができるのかという話である．まず簡単に分かるのは，次の錯角の話である．定理． 平行線の錯角は等しい．□中学校で習う，大変有益な定理…

誘惑に負けて、動画なんぞを見ている。 勉強しようかな、と悩んでいる時間が一番の無駄だな。

もう少しいい方法があるかもしれないが，思いつかないのでこのままアップロードする．問． とする．このときを示せ．□（証明） とする． 数列が十分大きいについては単調減少列であることを示す． 隣接二項の比がであるから， となるすべてのに対してが成立…

反復する確率は漸化式に直す．

定積分に関する典型問題をひとつ．問． とするとき，を示せ．解． 部分積分法を実行する． ． について解くと，を得る．

群論の理論が分かっても、はっきり言ってさっぱりわかっていない。 理由は簡単で、具体例が分からないからである。 例に定理を適用して初めて分かることもある。 ここに群の例をまとめて、参照して、覚えるようにしたいと思う。例．（自明なもの） は明らか…

問． 四面体OABCにおいて，辺OAの中点をP，辺BCを2:1に内分する点をQ，辺OCを1:3に内分する点をR，辺ABをに内分する点をSとする．ただし，とする．また，とおくとき，次の問いに答えよ． (1) をおよびで表せ． (2) をおよびで表せ． (3) 線分PQと線分RSが交…

確率変数に対して，確率分布が与えられているとする． このとき期待値を次の式で定義する． ．さてこの定義を見て，次を求めよといわれたらどうするだろうか． 『2つの確率変数に対して，期待値を求めよ．』

問． (1) をで表せ． (2) をで表せ． (3) 関数のにおける最大値と最小値を求めよ．(1)，(2)は典型的な三倍角の公式で，三角関数の加法定理を用いるのみ．解 (1) ．(2) ．(3) (1)および(2)を用いて関数を変形すると 三角関数の合成をおこなうと ただし，であ…

ジョルダン標準形をまた計算している． 2次正方行列の場合で大体の流れは思い出せる． ただ，計算時に使う定理を証明せよといわれれば難しい．

問．（水の問題） ，とする．空間内において，原点と点Pを結ぶ線分を，軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に水を満たし，原点から水面までの高さがのとき単位時間あたりの排水量がとなるように，水を排出する．すなわち，時刻tまでに排出され…

数学Bで学ぶことになるこの話題を取り上げる． 数列の初項から第項までの和をとすると， かつ が成り立つ． 教科書の問を解くとほぼ100%，の場合も一般項は成り立つのである． こうなると逆に成り立たない例は何だろうか，という問が生まれる． しかしこの問…

今回は自力をつけるべく少しずつ場合分けして求めた． 実践的には余事象を使い，求めるべきだ．(2)(別解） 求める事象の余事象はが4個異なる場合である． これは通りである． 余事象の確率は． 求める事象の確率は．

そういうわけで，違う凸関数を用いればうまくいくんじゃないか？という方針が見える． もう少し粘ってみよう．

どちらの不等式も強力な不等式である．2つの不等式を鑑賞していたときだった． ふと「イェンゼンの不等式」はいかなる凸関数を持ってきても成り立つ， 適用範囲が大きい不等式であるから，「イェンゼンの不等式」⇒「並べ替えの不等式」という証明が成り立ち…

問． 1個のさいころを4回続けて投げ，出た目を1回目から順にとするとき，次の問いに答えよ．ただし，さいころは1回投げると1，2，3，4，5，6の目がそれぞれ等しい確率で出るものとする． (1) となる確率を求めよ． (2) のうち，異なるものが3種類以下となる…

以下の流れで解答した．1) からを求める 2) 三角関数の加法定理でを求める 3) 正弦定理で外接円の半径を求めるしかし，既に2つの角のコサインが分かっているのだから， 残りひとつもあっという間に出そうなものなのに…． もどかしさが募る．

小問集合である． １． (1) 2次方程式 の2つの解を とするとき， の値を求めよ． (2) 方程式 を解け． (3) △ABCにおいて，∠A，∠Bの大きさをそれぞれで表すとき，，であるとし，さらに辺ABの長さはであるとする．このとき，△ABCの外接円の半径を求めよ．解） …

問． を満たす整数の組を求めよ．□解1） について解くとである． 左辺が整数であるから，右辺の分数も整数である． つまりより，を得る． よりである． よって，が求める整数の組である．□解2) 両辺にをかけるととなる． ここでであるから，である． 計算す…

数学難問集100から．問． のとき，を示せ．一般に次の不等式が成り立つ．命題．（チェビシェフの不等式） ，とする． このとき，不等式 が成立する．□さらに3をにかえても成立する．（証明） 両辺を3倍し，（右辺）−（左辺）を計算する． マイナスをはさんで…

不等式が好きなので，よく目にとまる． 次の不等式は頻出の問題である．問． ，，とする．次の不等式を示せ． (1) (2) 解） (1) ．(2) （(1)より） （(1)より） （より） ．

多項式の積分は結局，次が分かっていればなんとでもなる． ．

定義．（床関数） を超えない最大の整数 と定義し，この関数を床関数という．□大まかにいうと小数点以下を切り捨てる関数であるといえるが， どこのサイトにも書かれているとおり，負の数に対しては注意が必要である．例． ． ． ． ． （←ここが注意）床関…

問． 1から6の数字から重複を許して3個の数字を選ぶ組み合わせは何通りか．□基本的な重複組み合わせである． この問は次のように言い換えられる．問’． を満たす整数の組み合わせは全部で何通りか．□ここでとし，とすることで，次の問題に言い換えられる．問…

問． 不等式を示せ．□ときおり見かける不等式である． 次の不等式が分かっていればたやすい．補題． が成立する．（証明） ．（証明終）補題を使って解いてみよう．（解） （補題を用いた） （補題を用いた） ．（終）文字を回して，解決するのは不等式証明…

運動方程式はとてつもない式だが，この作用反作用の法則も大切だろう．ヘリコプターが頭の羽根をバタバタさせると， 本当ならこの作用反作用の法則で胴体も羽根と反対側にグルグル回るはずなのだ． これが尻尾にある羽根のおかげで，ぴたりと止まっているわ…