定理． とする． をの最大公約数，をの最小公倍数とする． このとき，が成り立つ．□（証明） はの最大公約数であるから，互いに素であるを用いて および と表せる．またはの最小公倍数なので かつ と表せる．つまりで，両辺を で約分するとが成り立つ． とは…
ルベーグ積分の記事を書くのには、非常にパワーがいる。 一度やって忘れてしまった内容ゆえである。 何とか…少しずつ書いていきたい。
関数の各点における曲率を求めたのだがしっくりこない．
逆関数の微分は，ライプニッツの記法により次のように書かれる． ．まるで分数のように…と．関数ではどのようになるのか．
地震の規模を表す指標マグニチュードは次のように定義するそうだ． 地震のエネルギーを[J]とすると， が成り立つ．
「ひとつ分」の概念が肝心である。例えば速度はまさに「ひとつ分」を表す量である。例． ・時速5kmとは，1時間あたり5km進むということである ・分速60mとは，1分あたり60m進むということである
問． 元値円を8%割引した後，8%増した場合，値段はどうなるか． (1) 増える (2) 等しい (3) 減る答． 計算してみよう． 元値を8%割引すると，この値を8%増すと，円である． 後ろの括弧部分は展開できて， （を用いた） となる．これは元値より価格が減少する…
二次方程式の判別式は実数か否かの判定のときにも登場する． 理由は以下のとおり．(1) 二次方程式について，を判別式という． 特にの場合，二次方程式は実数解を持つ．基礎問題では具体的な二次方程式の解の判別に使われ， 基本問題では文字が含まれている二…
現在，数学Iでも教えられる箱ひげ図． その雑感をここに記していこうと思う．1) 描き方について データを5数要約し，平均を求める．5数要約とは，データの中の次の5個の数を用いて，データの特徴を述べることである． 最小値 第1四分位数（25％の位置にある…
有名事実であるが，じゃんけんは3人で行うときは公平である．問． 3人が1回じゃんけんする．次の確率を求めよ． (1) ひとりが勝つ確率 起こるすべての場合の数は27通りである． あるひとりがパーで勝つのは，残りふたりがグーのときなのでである． チョキ，…
関数を軸の周りで回転させたときの体積はこれで決まりである．紹介する前にノーマルな積分の方法も紹介する． 連続で単調増加関数を考える． 数学IIIの教科書にもあるとおり，からおよび関数で囲まれた部分の 軸の回りの回転体の体積は次のようである． ． …
よくスマートフォンでインチの単位が出てくる。 1インチ=2.54cmなのだそうだ。 だから、5インチは12.7cmであって…結構大きい。
問．実数上の関数で，既約分数に対しては分子を1にし，無理数に対しては0となる関数は 各無理数では連続であることを示せ．（20.6.13） 昔，全く解けず手も足も出なかった問題である． この問題をここにアップしたときも解けていなかった． 時間があったら考…
問． かつならばを示せ．（解説） ・収束する数列は有界数列である．（証明） 任意のをとる． 収束する数列は有界数列であるから，あるが存在して， すべてのに対してである． ならば，あるが存在して，に対してが成り立つ． ならば，あるが存在して，に対し…
問． をε-δ論法で証明せよ．□（解説） ・よりである． よってである．（証明） 任意のをとる． を次を満たすように定める． (1) を満たすに対して （分子の有理化） ． （(1)より） ε-δ論法よりが示された．（証明終）
ε-δ論法ネタその２． ネットで検索すると，「ε-δ論法って分かりにくいよね？解説するよ！」というサイトは多い． そしてそういったサイトは至極分かりやすい．一方，問題の解き方をそのものずばりで書いているサイトはあまり多くない気がする． というわけで…
問． 関数がにおいて連続で，ならば の十分近くのすべてのに対してとなる．□典型的なε-δ論法の練習問題である．（証明） 関数はで連続であるから， 任意のに対して，あるでならばとなるものが存在する． ととる．上の式で存在するを固定する． を満たすすべ…
問．（東京大学2004第1問） 平面の放物線上の3点が次の条件を満たしている． は一辺の長さの正三角形であり，点を通る直線の傾きはである． このとき，の値を求めよ．□上は完全に思い出話で終わってしまったが， 結局のところどうやって解くの，ということを…
忘れられない問題は多々あるが，その内のひとつは次の問題である．問．（東京大学2004第1問） 平面の放物線上の3点が次の条件を満たしている． は一辺の長さの正三角形であり，点を通る直線の傾きはである． このとき，の値を求めよ．□忘れもしない，私が初…
関数（）は重要な関数である．である． つまりとなる有界連続関数である．
ホーナー法は多項式の値を求めるアルゴリズムである．例えば三次の整式について，の値を求めるとする． 通常であればや係数に掛け算の計算が要る． この場合であれば回の掛け算をせねばならない．計算はできればやらないほうがいい．ミスが減らせるからだ．…
上の話は相乗平均でも変わらない．とおく． このとき ．
相加平均について考えたい．３つの数の相加平均をとする． このとき４つめの数を加えても相加平均が変わらないようにするにはどうすればいいだろうか．実際に計算をしてみよう． ここでであることに注意すると， より が得られる．何も考えず，好奇心にまか…
前日の曲線のパラメータについては、やはりおかしかった。例えば、内の軸上の点はと表現される。 曲線のパラメータは一変数であると思われる。
３次元の場合、２変数で曲面を、１変数で曲線が表せる。 ここから考えると、４次元空間中の３変数で曲面で表され、 曲線は２変数のパラメータで表されるのか？ なんだか変な感じはするのだが…。
および はよく知られた公式だ．少し計算すると も分かる． ということは一般には…
具体例で使い方を追いかける．例． 関数を考える． である． これより点Pに対して，となる． 陰関数定理よりを含む開近傍とその開近傍上で定義された陰関数が存在する．この場合はよりである．
命題． 三角形ABCに対して次の等式が成り立つ． ．□（証明） 三角関数の加法定理により，であるから， ． 補角の公式より ． ゆえに ．（証明終）
電流とは「電荷の移動のこと」をいうそうだ． 意味は間違いないのだが，これであれこれ計算しろといわれても困る． これは辞書的な意味しかない．物理で習う電流[A]は，単位時間にある面を通り過ぎていく電荷の量を指すそうだ．量そのものの多少が関わるだろ…
定理．（積分の平均値の定理） に対して，が存在して と表せる．□（証明） が定数関数であれば明らかである． そこでが定数関数ではないとする． このとき最大・最小値の定理より有界閉区間上最大値および最小値が存在する． すなわち （） が成り立つ．両辺…
