三角比の等式 - べっこう色の記録

命題．
三角形ABCに対して次の等式が成り立つ．
$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ ．□

（証明）
三角関数の加法定理により， $\tan (A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ であるから，
　　 $\tan A + \tan B = (1 - \tan A \tan B)\tan (A+B)$ ．
補角の公式 $\tan (A+B) = \tan(\pi - C)=-\tan C$ より
　　 $\tan A + \tan B =-\tan C +\tan A \tan B \tan C$ ．
ゆえに
　　 $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ ．（証明終）