ジョルダン標準形をまた計算している． 2次正方行列の場合で大体の流れは思い出せる． ただ，計算時に使う定理を証明せよといわれれば難しい．

問．（水の問題） ，とする．空間内において，原点と点Pを結ぶ線分を，軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に水を満たし，原点から水面までの高さがのとき単位時間あたりの排水量がとなるように，水を排出する．すなわち，時刻tまでに排出され…

数学Bで学ぶことになるこの話題を取り上げる． 数列の初項から第項までの和をとすると， かつ が成り立つ． 教科書の問を解くとほぼ100%，の場合も一般項は成り立つのである． こうなると逆に成り立たない例は何だろうか，という問が生まれる． しかしこの問…

今回は自力をつけるべく少しずつ場合分けして求めた． 実践的には余事象を使い，求めるべきだ．(2)(別解） 求める事象の余事象はが4個異なる場合である． これは通りである． 余事象の確率は． 求める事象の確率は．

そういうわけで，違う凸関数を用いればうまくいくんじゃないか？という方針が見える． もう少し粘ってみよう．

どちらの不等式も強力な不等式である．2つの不等式を鑑賞していたときだった． ふと「イェンゼンの不等式」はいかなる凸関数を持ってきても成り立つ， 適用範囲が大きい不等式であるから，「イェンゼンの不等式」⇒「並べ替えの不等式」という証明が成り立ち…

問． 1個のさいころを4回続けて投げ，出た目を1回目から順にとするとき，次の問いに答えよ．ただし，さいころは1回投げると1，2，3，4，5，6の目がそれぞれ等しい確率で出るものとする． (1) となる確率を求めよ． (2) のうち，異なるものが3種類以下となる…

以下の流れで解答した．1) からを求める 2) 三角関数の加法定理でを求める 3) 正弦定理で外接円の半径を求めるしかし，既に2つの角のコサインが分かっているのだから， 残りひとつもあっという間に出そうなものなのに…． もどかしさが募る．

小問集合である． １． (1) 2次方程式 の2つの解を とするとき， の値を求めよ． (2) 方程式 を解け． (3) △ABCにおいて，∠A，∠Bの大きさをそれぞれで表すとき，，であるとし，さらに辺ABの長さはであるとする．このとき，△ABCの外接円の半径を求めよ．解） …

問． を満たす整数の組を求めよ．□解1） について解くとである． 左辺が整数であるから，右辺の分数も整数である． つまりより，を得る． よりである． よって，が求める整数の組である．□解2) 両辺にをかけるととなる． ここでであるから，である． 計算す…

数学難問集100から．問． のとき，を示せ．一般に次の不等式が成り立つ．命題．（チェビシェフの不等式） ，とする． このとき，不等式 が成立する．□さらに3をにかえても成立する．（証明） 両辺を3倍し，（右辺）−（左辺）を計算する． マイナスをはさんで…

不等式が好きなので，よく目にとまる． 次の不等式は頻出の問題である．問． ，，とする．次の不等式を示せ． (1) (2) 解） (1) ．(2) （(1)より） （(1)より） （より） ．

多項式の積分は結局，次が分かっていればなんとでもなる． ．

定義．（床関数） を超えない最大の整数 と定義し，この関数を床関数という．□大まかにいうと小数点以下を切り捨てる関数であるといえるが， どこのサイトにも書かれているとおり，負の数に対しては注意が必要である．例． ． ． ． ． （←ここが注意）床関…

問． 1から6の数字から重複を許して3個の数字を選ぶ組み合わせは何通りか．□基本的な重複組み合わせである． この問は次のように言い換えられる．問’． を満たす整数の組み合わせは全部で何通りか．□ここでとし，とすることで，次の問題に言い換えられる．問…

問． 不等式を示せ．□ときおり見かける不等式である． 次の不等式が分かっていればたやすい．補題． が成立する．（証明） ．（証明終）補題を使って解いてみよう．（解） （補題を用いた） （補題を用いた） ．（終）文字を回して，解決するのは不等式証明…

定理． とする． をの最大公約数，をの最小公倍数とする． このとき，が成り立つ．□（証明） はの最大公約数であるから，互いに素であるを用いて および と表せる．またはの最小公倍数なので かつ と表せる．つまりで，両辺を で約分するとが成り立つ． とは…

関数の各点における曲率を求めたのだがしっくりこない．

逆関数の微分は，ライプニッツの記法により次のように書かれる． ．まるで分数のように…と．関数ではどのようになるのか．

地震の規模を表す指標マグニチュードは次のように定義するそうだ． 地震のエネルギーを[J]とすると， が成り立つ．

問． 元値円を8%割引した後，8%増した場合，値段はどうなるか． (1) 増える (2) 等しい (3) 減る答． 計算してみよう． 元値を8%割引すると，この値を8%増すと，円である． 後ろの括弧部分は展開できて， （を用いた） となる．これは元値より価格が減少する…

二次方程式の判別式は実数か否かの判定のときにも登場する． 理由は以下のとおり．(1) 二次方程式について，を判別式という． 特にの場合，二次方程式は実数解を持つ．基礎問題では具体的な二次方程式の解の判別に使われ， 基本問題では文字が含まれている二…

有名事実であるが，じゃんけんは3人で行うときは公平である．問． 3人が1回じゃんけんする．次の確率を求めよ． (1) ひとりが勝つ確率 起こるすべての場合の数は27通りである． あるひとりがパーで勝つのは，残りふたりがグーのときなのでである． チョキ，…

関数を軸の周りで回転させたときの体積はこれで決まりである．紹介する前にノーマルな積分の方法も紹介する． 連続で単調増加関数を考える． 数学IIIの教科書にもあるとおり，からおよび関数で囲まれた部分の 軸の回りの回転体の体積は次のようである． ． …

問．実数上の関数で，既約分数に対しては分子を1にし，無理数に対しては0となる関数は 各無理数では連続であることを示せ．（20.6.13） 昔，全く解けず手も足も出なかった問題である． この問題をここにアップしたときも解けていなかった． 時間があったら考…

問． かつならばを示せ．（解説） ・収束する数列は有界数列である．（証明） 任意のをとる． 収束する数列は有界数列であるから，あるが存在して， すべてのに対してである． ならば，あるが存在して，に対してが成り立つ． ならば，あるが存在して，に対し…

問． をε-δ論法で証明せよ．□（解説） ・よりである． よってである．（証明） 任意のをとる． を次を満たすように定める． (1) を満たすに対して （分子の有理化） ． （(1)より） ε-δ論法よりが示された．（証明終）

ε-δ論法ネタその２． ネットで検索すると，「ε-δ論法って分かりにくいよね？解説するよ！」というサイトは多い． そしてそういったサイトは至極分かりやすい．一方，問題の解き方をそのものずばりで書いているサイトはあまり多くない気がする． というわけで…

問． 関数がにおいて連続で，ならば の十分近くのすべてのに対してとなる．□典型的なε-δ論法の練習問題である．（証明） 関数はで連続であるから， 任意のに対して，あるでならばとなるものが存在する． ととる．上の式で存在するを固定する． を満たすすべ…

問．（東京大学2004第1問） 平面の放物線上の3点が次の条件を満たしている． は一辺の長さの正三角形であり，点を通る直線の傾きはである． このとき，の値を求めよ．□上は完全に思い出話で終わってしまったが， 結局のところどうやって解くの，ということを…