交代群がいつ可解群になるのか

$n \geq 4$ に対して交代群 $A_{n}$ が非可換であることは，どこかに書いてあるようで書いていない．
実際に
　　 $(1\, 2\, 3)=(1\, 3)(1\, 2),\, (2 \, 3 \, 4)=(2 \, 4)(2 \, 3) \in A_{n}$
に対して
　　 $(1\, 2\, 3)(2 \, 3 \, 4)=(1\, 2)(3 \, 4)$
かつ
　　 $(2 \, 3 \, 4)(1\, 2\, 3)=(1\, 3)(2 \, 4)$
であるからアーベル群に成りえない．

(20.09.09 追記）
そういうわけで非可換なわけだが，それに加えて $A_5$ は単純群であることが示される．

定義（単純群）
群 $G$ が自分自身と $\{ 1 \}$ 以外を正規部分群としてもたないとき，単純群という．

定理
$A_5$ は単純群である．

いくつか準備をする．

補題
$A_5$ は3次巡回置換 $(1\, 2\, 3),(1\, 2\, 4),(1\, 2\, 5)$ で生成される．
ここで生成されるとは，これらの有限個の積で書かれる，という意味である．
またこれら3個は次のように適切な3次巡回置換で変換される．
ここで変換とは $\sigma$ に対して，ある $\tau$ で $\tau \sigma \tau^{-1}$ と表すことである．
　 $(3 \, 4 \, 5)(1\, 2\, 3)(3\, 5\, 4)=(1 \, 2 \, 4),$
　 $(3 \, 5 \, 4)(1\, 2\, 3)(3\, 4\, 5)=(1 \, 2 \, 5).$

（定理の証明）
$A_5$ の正規部分群を $N \neq \{ 1 \}$ とする．
$N$ は2個の互換の積，3次巡回置換，5次巡回置換のいずれかを要素に持つ．
それらは適当に $A_5$ の要素で $(1 \, 2)(3 \, 4),(1 \, 2 \, 3),(1 \, 2 \, 3 \, 4 \, 5)$ へ変換されるが，
$N$ は $A_5$ の正規部分群であるからどれかが $N$ に属するとしてよいことになる．
$(1 \, 2 \, 3)$ が属するならば補題により $N=A_5$ が成り立つ．
また $(1 \, 2)(3 \, 4)$ が属するならば $(1 \, 5 \, 2)(1 \, 2)(3 \, 4)(1 \, 2 \, 5)=(1 \, 5)(3 \,4)$ が $N$ に属する．
$(1 \, 5)(3 \, 4)(1 \, 2)(3 \, 4)=(1 \, 2 \, 5)$ が $N$ に属する．補題により $N=A_5$ が成り立つ．
さらに $(1 \, 2 \, 3 \, 4 \, 5)$ が属するならば $(1 \, 4 \, 2)(1 \, 2 \, 3 \, 4 \, 5)(1 \, 2 \, 4)=(1 \, 3 \, 2 \, 5 \, 4)$ が $N$ に属する．
$(1 \, 2 \, 3 \, 4 \, 5)(1 \, 3 \, 2 \, 5\, 4)=(1 \, 4 \, 2)$ が $N$ に属するが，逆元 $(1 \, 2 \, 4)$ も属するので補題により $N=A_5$ が成り立つ．
以上よりいずれの場合にも $N=A_5$ が成り立つ．（定理の証明終）