orz107orz.hatenablog.com この記事の意味がさっぱり分からない。 一体なにをしようとしていたのか…？今となってはもう解明できない気がする。この記事で述べられている、並べ替えの不等式はこのことだろうか。 ３個のバージョンを書いておく。 実数およびに…

前回の記事のつづき。 端点だけでは積分の値を１つに定められない例を挙げる。 つまり関数として正則でないものを挙げればよい。例．関数について考える。 端点をととし、複素積分を考える。 1) 積分路を実軸に沿って考えた場合 パラメータは（）ととる。 ．…

初等整数論をやらなきゃいかん，と決意して勉強し始めたところ，除法の原理の証明で行き詰った．定理．（除法の原理） 自然数 に対して を満たす整数 が存在する．ただし である．ネットで検索したら，この証明はペアノの公理から始めて，最小値原理を認めな…

絶対値について書いておく．定義．（絶対値） 実数に対して，ならば，ならばをの絶対値という． の絶対値を記号で表す．□例． (1) (2) (3) このような問題は慣れればすぐにはずせる．しかし慣れないうちは以下のようにする． （解） であるからである． よっ…

修正というとき，必ずしも改善であるとは限らないが，これは改善であるといえると思う．これらの記事についてである． orz107orz.hatenablog.com orz107orz.hatenablog.comかいつまんでいうと，級数について，という等式を使うと示せそうだよね，という話で…

正直に言うと、この話はそこまで詳しくない。 高校レベルくらいまでのことしか知らない。 そんな初歩の話を書いてみる試みだ。その１．普段の数 日常生活で使う数は31や1200と書かれる。 31は小学校以来「さんいち」ではなく「さんじゅういち」、1200は「い…

曲線が（）と表されているとき，その曲線の長さは この式の意味をおおまかに考える。 方向の小さい変化に対して，この曲線の方向がと変化しているとする。 この分の曲線の長さはピタゴラスの定理でで求められる。 あとはこれらの曲線を足し合わせて極限をと…

2次関数の最大値・最小値の問題は，必ず関数のグラフで解決すべき問題だ。例題．関数，の最大値と最小値を求めよ。流れを確認する。 １．２次関数のグラフをかくために，関数を平方完成する。 ２．頂点と端点に注目して関数のグラフをかく。 ３．目で見て，…

の開集合を可算個の開球体で被覆する話である．

全体集合の部分集合をとする． このとき，差集合を次で定義する．．差集合の集合算を考えたい．まず大切なこととして，であることは押えておく．命題１． ．（証明） を示す． を言い換えると，かつかつである． とくに「かつ」は「かつ」である． 言い換え…

高校数学３ではじめてこの積分を習う．つまり，右辺を左辺で定義することもできるわけだ． 有名な対数の性質も左辺も証明できよう．例． ．（解） について，という置換をおこなう． かつとなる． つまり．（終）

高校ではまったく出てこないが重要な論法がある．命題． が定数で，任意のに対して， が成り立つならば である．□右辺にいくらでも小さくできる項が含まれていると，その項を取り除いても等号付きで不等号が成立する． 証明は背理法による．（証明） 背理法…

不等号が学校ではじめて登場するのは小学校２年生なのだそうだ． もちろん私は初登場した日のことはまったく覚えていない．しかも「不等号」という名前を出さずに記号を使って数の大小を表現するに留まるのだそうだ． 小学校２年生では少し難しい単語だと判…

連続関数と可測関数の合成がまた可測関数になることを示す． 定理． 関数 を連続とする． または有限な値を持つ実数値可測関数とする． このとき，も可測関数である． 可測であること（証明） の開基として，開区間をとることができる． は連続であるからと…

定義．（ほとんどすべて a.e.） に対する命題が，ある零集合の点を除いては成立するとき 命題はほとんどすべて（almost everywhere）のに対して成り立つ，といい a.e. と表す．□ 注意． 考える集合が明らかな場合，は省略可能である．□稠密でかつ零集合であ…

多項式は通常次の形式をしている． この式を次のような表示に変更する場合，どのようにするだろうか． 方法１ 代入 を第１式に代入して，展開する． について整理したのちを代入する． 計算をかんがえるとこの方法がよい．方法２ 除法の原理 で割り算を実行…

連続写像の定義は一見よく分からない．位相空間，における写像が連続であるとは， 任意のに対してが成り立つことをいう．具体的な例で抽象論を取り扱ってみよう． 関数 が連続であるとする． このときという開区間に対して逆像を考える．

補題．（可測関数であるための条件） 関数 に対して次のそれぞれの条件は同値である． (i)関数 は可測関数である． (ii)任意の に対して，． (ii)任意の に対して，． (iv)任意の に対して，． (v)任意の に対して，． すぐ気がつくと思うが，不等号がどのよ…

定義．（半連続） を上の関数とし，値域はの部分集合であるとする． 任意の に対して，が成り立つとき，は下半連続関数である，という．また上記の集合の不等号をに変えたものが成り立つとき，上半連続関数であるという． 下半連続関数は下からのどのような…

物理で同じ名前の原理があるが，これはそれではない． 次の原理である．命題．（アルキメデスの原理） 任意のに対して，あるが存在してが成り立つ．□がどんなに「小さ」く， がどんなに「大きい」数でも， 2倍，3倍…とするといつかはその「大きい」数を追い…

ここには球面三角法の内容が書き込まれる予定…

最近，最大最小値問題を解く機会が多いのだが， すぐに1変数の微分法に頼ってしまう． たしかに増減表を書けばあっさりと解決するが，賢くなった気がしない． 別解で学んでいこう．

問． とするとき，を示せ．もう一度考え直す．2乗を出すより1乗を出したほうが自然のような気がする．（解） ． について解くと，示すべき式が得られる．（終）

この話は最終的にはもちろん非ユークリッド幾何の話に行き着いてしまうのだが… そこの手前，この公準が仮定されれば何ができるのかという話である．まず簡単に分かるのは，次の錯角の話である．定理． 平行線の錯角は等しい．□中学校で習う，大変有益な定理…

もう少しいい方法があるかもしれないが，思いつかないのでこのままアップロードする．問． とする．このときを示せ．□（証明） とする． 数列が十分大きいについては単調減少列であることを示す． 隣接二項の比がであるから， となるすべてのに対してが成立…

反復する確率は漸化式に直す．

定積分に関する典型問題をひとつ．問． とするとき，を示せ．解． 部分積分法を実行する． ． について解くと，を得る．

問． 四面体OABCにおいて，辺OAの中点をP，辺BCを2:1に内分する点をQ，辺OCを1:3に内分する点をR，辺ABをに内分する点をSとする．ただし，とする．また，とおくとき，次の問いに答えよ． (1) をおよびで表せ． (2) をおよびで表せ． (3) 線分PQと線分RSが交…

確率変数に対して，確率分布が与えられているとする． このとき期待値を次の式で定義する． ．さてこの定義を見て，次を求めよといわれたらどうするだろうか． 『2つの確率変数に対して，期待値を求めよ．』

問． (1) をで表せ． (2) をで表せ． (3) 関数のにおける最大値と最小値を求めよ．(1)，(2)は典型的な三倍角の公式で，三角関数の加法定理を用いるのみ．解 (1) ．(2) ．(3) (1)および(2)を用いて関数を変形すると 三角関数の合成をおこなうと ただし，であ…