2017-01-28

カップル成立の確率

数学

安田亨先生の伝説の良問100を読んでいたら，次の問題があった。

問．
男性が2人，女性が2人いる。各々は自分の異性をでたらめに1人指名する。
互いに相手を指名すればカップルが成立するものとして，
ちょうど1組カップルが成立する確率を求めよ。

n人まで一般化する方法も書いてあり，包除原理で計算している。

2017-01-14

微分と積分の交換可能の条件

数学解析学ルベーグ積分

ルベーグの優収束定理を用いて，微分と積分の交換可能の条件を求める．

定理
$\mathbb{R}^2$ 上の関数 $f$ が次の条件を満たすとする．
1) 各 $x$ に対して $f(x,y)$ は $y$ で積分可能である．
2) $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ は存在し，ある1変数関数 $g \in L^1$ で $\displaystyle |\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)| \leq g(y)$ となるものが存在する．
このとき $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \int_\mathbb{R} f(x,y)dm(y) = \int_\mathbb{R} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)dm(y)$ が成立する．

2017-01-13

ルベーグ積分の収束定理（ルベーグの優収束定理）

数学解析学ルベーグ積分

定理（ルベーグの優収束定理）
関数列 $\{ f_j \}_{j=1}^\infty$ は次の条件を満たすとする．
1) $f_j \to f$ a.e.
2) ある $g \in L^1$ ですべての $j$ に対して $|f_j| \leq g$ a.e.を満たすものが存在する．
このとき $\displaystyle \lim_{j \to \infty} \int f_j dm = \int \lim_{j \to \infty} f_j dm = \int f dm$ が成立する．

注意
1) 関数列に $L^1$ の条件を課す必要はない．
2) $\lim$ と積分との交換がこのような単純な条件でできることが，ルベーグ積分が優れている点のひとつである．

（証明）
$|f_j| \leq g$ a.e
より
$-g \leq f_j \leq g$ a.e.
であるから
$0 \leq g+ f_j \leq 2g, 0 \leq g -f_j \leq 2g$ a.e.
ファトゥの補題から
$\displaystyle \int \liminf_{j \to \infty} ( g+ f_j )dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int (g +f_j)dm$
より
$\displaystyle \int (g+f) dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int (g +f_j)dm$
から
$\displaystyle \int f dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int f_j dm$
である．また
$\displaystyle \int \liminf_{j \to \infty} ( g-f_j )dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int (g -f_j)dm$
より
$\displaystyle \int (g-f) dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int (g - f_j)dm$
から
$\displaystyle \int (-f) dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int (- f_j)dm$
となるので
$\displaystyle \int f dm \geq \limsup_{j \to \infty} \int f_jdm$
である．つまり
$\displaystyle \limsup_{j \to \infty} \int f_jdm \leq \int f dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int f_j dm$
でこれは $\displaystyle \lim_{j \to \infty} \int f_j dm = \int f dm$ を意味する．（証明終）

系（有界収束定理）
$m(E) < \infty$ で，関数列 $\{ f_j \}_{j=1}^\infty$ は次の条件を満たすとする．
1) $\{ f_j \}_{j=1}^\infty$ は $E$ で概収束する．
2) ある $M \in \mathbb{R}$ ですべての $j$ に対して $|f_j| \leq M$ a.e. となるものが存在する．
このとき $\displaystyle \lim_{j \to \infty} \int_E f_j dm = \int_E \lim_{j \to \infty} f_j dm$ が成り立つ．

2017-01-12

ルベーグ積分の収束定理（ファトゥの補題）

数学解析学ルベーグ積分

補題（ファトゥの補題）
$f_j \geq 0$ ならば
$\displaystyle \int \liminf_{j \to \infty} f_j dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int f_j dm$
が成り立つ．

（証明）
関数列 $\displaystyle g_j :=\inf_{j \leq k} f_k$ を考える．各 $j$ に対して
$g_j \leq f_k (j \leq k)$
$\displaystyle \int g_j dm \leq \int f_k dm (j \leq k)$
$\displaystyle \int g_j dm \leq \inf_{j \leq k} \int f_k dm$
$\displaystyle g_1 \leq g_2 \leq g_3 \leq \cdots \to \liminf_{j \to \infty} f_j$ であるから，単調収束定理が使える．
$\displaystyle \int \liminf_{j \to \infty} f_j dm$
$\displaystyle =\int \lim_{j \to \infty} g_j dm$
$\displaystyle =\lim_{j \to \infty} \int g_j dm$
$\displaystyle \leq \lim_{j \to \infty} \inf_{j \leq k} \int f_k dm$
$\displaystyle = \liminf_{j \to \infty} \int f_jdm$
で従う．（証明終）

2017-01-11

ルベーグ積分の収束定理（ベッポ・レヴィの単調収束定理）

数学解析学ルベーグ積分

ベッポ・レヴィの定理を用いると単調収束定理が証明できる．

定理（単調収束定理）
$0 \leq f_1 \leq f_2 \leq f_3 \leq \cdots$ に対して
$\displaystyle \int \lim_{j \to \infty} f_j dm = \lim_{j \to \infty} \int f_j dm$ が成り立つ．

（証明）
$g_j =f_j -f_{j-1}(j \geq 2),g_1 = f_1$ とおく．
$\displaystyle \sum_{j=1}^\infty g_j = \lim_{k \to \infty} f_k$ に注意してベッポ・レヴィの定理を用いればよい．（証明終）

2017-01-10

ルベーグ積分の収束定理（ベッポ・レヴィの定理）

数学ルベーグ積分解析学

単調増加な列に対する収束定理を取り扱う．
収束定理とは， $\lim$ と積分の順序交換を保証する定理である．

定理（ベッポ・レヴィの定理）
非負可測関数列 $\{ f_j \}_{j=1}^\infty$ に対して，
$\displaystyle \int \sum_{j=1}^\infty f_j dm =\sum_{j=1}^\infty \int f_j dm$
が成り立つ．この等式の右辺または左辺が無限大であれば，両辺共に無限大となる．

積分範囲が示されていないが，これは任意の可測集合上で，という意味である．

（証明）
$\displaystyle \int \sum_{j=1}^\infty f_j dm \geq \int \sum_{j=1}^n f_j dm = \sum_{j=1}^n \int f_j dm$ であり，
この式の極限をとることで $\displaystyle \int \sum_{j=1}^\infty f_j dm \geq \sum_{j=1}^\infty \int f_j dm$ が従う．
逆向きの不等号を示す． $f=\displaystyle \sum_{j=1}^\infty f_j$ とおく．
関数列の各関数に対して
$f_{11} \leq f_{12} \leq f_{13} \leq \cdots \to f_1$
$f_{21} \leq f_{22} \leq f_{23} \leq \cdots \to f_2$
$f_{31} \leq f_{32} \leq f_{33} \leq \cdots \to f_3$
$\cdots$
$f_{j1} \leq f_{j2} \leq f_{j3} \leq \cdots \to f_j$
$\cdots$
で $\displaystyle \lim_{k \to \infty} \int f_{jk} dm = \int f_j dm$ となる単関数の列がとれる．
$\displaystyle s_k = \sum_{j=1}^k f_{jk}$ と定める．
この関数列 $\{ s_k \}_{k=1}^\infty$ で $f$ の積分が与えられることを示す．
$\displaystyle s_k= \sum_{j=1}^k f_{jk} \leq \sum_{j=1}^k f_{j \, k+1} \leq \sum_{j=1}^{k+1} f_{j \, k+1} = s_{k+1} \leq f$
および
$\displaystyle \sum_{j=1}^\ell f_j =\lim_{k \to \infty} \sum_{j = 1}^\ell f_{jk} \leq \lim_{k \to \infty} \sum_{j=1}^k f_{jk} = \lim_{k \to \infty} s_k$
で $\ell \to \infty$ として， $\displaystyle f \leq \lim_{k \to \infty} s_k$ となるから， $\displaystyle f=\lim_{k \to \infty} s_k$ である．
よって， $\displaystyle \int f dm = \lim_{k \to \infty} \int s_k dm$ が得られる．左辺は
$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \int \sum_{j=1}^k f_{jk} dm \leq \lim_{k \to \infty} \int \sum_{j=1}^k f_{j} dm = \sum_{j=1}^\infty \int f_{j} dm$
となるので $\displaystyle \int \sum_{j=1}^\infty f_j dm \leq \sum_{j=1}^\infty \int f_j dm$ が従う．（証明終）

2017-01-09

ルベーグ積分の定義

数学ルベーグ積分

いよいよルベーグ積分の定義に入っていこう．

[1] 非負単関数 $s$
非負単関数 $\displaystyle s(x) = \sum_{j=1}^k a_j \chi_{E_j}(x)$ に対して，そのルベーグ積分を
　 $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^d} s(x) dm(x) := \sum_{j=1}^k a_j m(E_j)$
と定義する．

[2] 非負可測関数 $f$
非負可測関数 $f$ に対して，そのルベーグ積分を
　 $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^d} f(x) dm(x) := \sup \{ \int_{\mathbb{R}^d} s(x) dm(x) \mid s$ は $s \leq f$ を満たす非負値単関数 $\}$
と定義する．可測集合 $E$ 上の積分は $f$ に指示関数 $\chi_E$ を乗したものの積分を考えればよい．