１．ルベーグ外測度はカラテオドリの外測度の条件を満たす ２．ルベーグ外測度でカラテオドリの条件を満たす集合系は集合体となる ３．ルベーグ外測度を集合系上に制限すると測度となる今回は下線を示す． 定義．（ルベーグ測度） をルベーグ測度という．□ …

次の式は凸関数を眺めていたら思いついた．予想． 関数は凸関数であるとする．このとき に対してが成立する．また逆も成立する．□凸関数のグラフ上に三点をとって線分の傾きを比較すると，成り立っている…と思われる． まあ証明できないでいるので，ひょっと…

定義．（零集合） カラテオドリの外測度でその値が0になる集合を零集合という．□ この零集合が曲者である． 定理． ルベーグ外測度の意味の零集合はルベーグ可測集合である．□ （証明） 任意の零集合がカラテオドリの条件を満たすことを示す． 零集合と任意…

思ったより集合体であることを示すのに時間がかかっている。 補題一つに入力が一日かかってしまう。

ルベーグ可測集合はルベーグ外測度とルベーグ内測度の一致で定義される場合が多い． ここでルベーグ内測度はコンパクト集合で定義するので，位相が関わりそうだ． 一方でカラテオドリの条件で可測性を定めるなら，この問題はひとまず考えなくてよくなる． ま…

色々なものが前に立ちふさがって勉強がはかどらない。 8時間睡眠が要る自分がこの時間まで起きて勉強しても足りない。 そもそも頭が足りていないことは自覚している。

補題． かつならば任意のに対してが成り立つ．□ （証明） 数学的帰納法を用いる．はカラテオドリの条件の式そのものである． で成立すると仮定する．すなわち が成り立つとする．ここでからカラテオドリの条件を用いると次の式が成立する． ． ここで，各ど…

補題． 1)． 2)． 3)．□ 1)． は零集合なのでルベーグ可測集合である．2)． 任意のに対して， かつ が成り立つので示される．3)． 任意のに対して， （を任意の集合とみてのカラテオドリの条件を用いた） （のカラテオドリの条件を用いた） ． （のカラテオ…

１．ルベーグ外測度はカラテオドリの外測度の条件を満たす ２．ルベーグ外測度でカラテオドリの条件を満たす集合系は集合体となる ３．ルベーグ外測度を集合系上に制限すると測度となる今回は下線を示す． 定義．（） の集合でカラテオドリの条件を満たす集…

記事どうしのまとまりがなくなってきた。 ある程度たまってきたら、きれいに見出しをつけてまとめよう。

定義8．（ルベーグ外測度） for all と定める．このをルベーグ外測度という．□ 今からの流れは以下のようである． １．ルベーグ外測度はカラテオドリの外測度の条件を満たす ２．ルベーグ外測度でカラテオドリの条件を満たす集合系は集合体となる ３．ルベー…

定義7．（集合環，集合体） 集合． とする． が次の二条件を満たすとき集合環という． （i） ならば （ii） ならば 二条件に加え次の条件を満たすときを集合体という． （iii） □

予定ではカラテオドリの条件を満たす集合系は集合体であること示したい。 そしてがカラテオドリの外測度であることを示す。集合体であることをいった後は、ボレル集合体と内測度の話をする。 最後にルベーグ非可測な集合の存在を示した後、いよいよルベーグ…

最高の命題は次の命題である．命題． が成立する．□この証明が少し大変である．

命題． 集合とそのべき集合の濃度について次の不等式が成り立つ． ．□（証明） 単射により，である． 背理法．と仮定すると，全単射写像が存在する． 集合を考える． 写像は全単射であるから，あるが一意的に存在してが成立する． このときまたはのいずれか…

定義5．（カラテオドリの外測度） 集合に対して，上の関数が次の三つの条件を満たすとき， をカラテオドリの外測度という． （i） かつ for （ii） ならば （iii） for □ 「集合の外側から測度を調べる」ための道具にはこの性質たちが要となっているのである…

この項目の目標は以下の定理を証明することである． 定理1． 前回定めたは，上の測度である．□ 証明をするために，次の三つの補題を証明する． 補題1． ならばが成り立つ．□ つまり集合の大小関係は測度においてもそのまま保たれるということである．（証明…

うーん…ちょっと苦しいなぁ。 頭は痛いし、腹は下っている。ろくでもないよ。

あいかわらず不定積分に悩んでいる．問． 不定積分を求めよ．解） （は積分定数）（終）

「有界右半開区間の差集合は有界右半開区間の非交和であらわせる」の証明は手間がかかりそう． 絵を描くと，とても簡単なのだが，それを証明といいはるわけにはいかないだろう．

上に（ルベーグ）測度を定める． まず一般の有限加法的集合環上の有限加法的測度を定義する． 定義4．（測度） 上の有限加法的集合環をとする． 関数が次の二条件を満たすとき，を有限加法的測度という． (i) (ii)ならば ここで(ii)に換えて次の(ii)'を満た…

命題．（加比の理） ならばが成り立つ．（証明） とおく．このときとなるから， ． （証明終）驚いたことに国語辞典にも載っている． かひのり【加比の理】の意味 - 国語辞書 - goo辞書

なんだか平面図形の問題ばかり取り上げている。 脳の興味が図形に向いているのかもしれない。

問． 関数の最小値を求めよ．また，そのときのの値を求めよ．最初は微分法を用いて解こうと考えたが，計算量の多さで挫折． 二次式ということに着目すると，平方完成が有効であることに気がついた．（解） 関数を変形すると となる．これは点と点との距離及…

今日の朝、ふと球面上の2点の最短距離はその2点を通る赤道の短いほうだろうと思ったので、証明しようと思った。 ところがまったくその方法が浮かばなかった。 たぶん昔習ったはずなのに…。今曲線・曲面論の本を開いたら、見事な方法が載っていた。 しかしま…

前回は幾何学的ベクトルで導出した． 今回は方針は単純だが，計算が少々大変な方法で導出しよう．定理．（平面上の点と直線の距離） 点 と直線 の距離は で与えられる．（証明） のときは軸と平行な直線になるので，距離はとなるから示される． のときを示す…

こんなことも忘れているわけで…． 自分が情けなくなってくるので，ここに書いて自戒とする．ここではユークリッド距離である．つまりである．まずにおける開集合は次の流れで定義する． １．内点 とする．に対して，適当なをとれば が成立するとき，をの内点…

定義3．（有限加法的集合環・体） を一般の集合とする． が次の条件を満たすとき有限加法的集合環という． (i) (ii) さらに (iii) を満たすときを有限加法的集合体という．□ が有限加法的集合体ならば次の2つの性質を持つ． （イ） （ロ） 集合論で既知の性…

高校でふわっと勉強する陰関数は次のように教わった．がと陽に表示できないとき，はの陰関数という．厳密にはこのように定義しない． 陰関数定理が先だってあって，これを元に定義するのである．

関数は，を満たすとする． また，原点を通りなす角である直線をとする． を回転軸とするの回転体の体積は次の式で与えられる． （証明） 直線を軸であると考え，通常通り回転体の体積を求める． ただしいくつかの注意がある． (1) 軸が軸から傾いているので…