数列の和と一般項について

数学Bで学ぶことになるこの話題を取り上げる.

数列\{ a_{k} \}_{k=1}^{\infty}の初項から第n項までの和をS_{n}とすると,
  a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\, (n \geq 2) かつa_{1}=S_{1}
が成り立つ.

教科書の問を解くとほぼ100%,S_{1}=a_{1}の場合も一般項は成り立つのである.
こうなると逆に成り立たない例は何だろうか,という問が生まれる.
しかしこの問の解はあっさりと見つかる.

例.和がS_{n}=n^{2}+1で表される数列\{ a_{k} \}_{k=1}^{\infty}の一般項を求めよ.

解.a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2n-1である.またa_{1}=S_{1}=1^2+1=2
ゆえに,a_{n}=2n-1 \, (n \geq 2)かつa_{1}=2

つまり 2,3,5,7,9, \ldotsだったのである.
このように通常の等差数列の初項に1を加えるとあっさりと成り立たない例が作れる.