岩手大学2016農学部第3問を解く

3．
89も29も素数なので，(1)はすぐ1であることが分かる．
(2)以降の右辺が-20である意味がつかめないのが悔しい．
おそらく何か由来があると思うのだが…．

次の問いに答えよ．
(1)ユークリッドの互除法を用いて，89と29の最大公約数を求めよ．
(2)2元1次不定方程式 $89x+29y=1$ の整数解を1組求めよ．
(3)2元1次不定方程式 $89x+29y=-20$ の整数解として現れる $x$ の値のうち，
　正のものを小さい順に $x_1, x_2, x_3,\cdots$ とする．このとき自然数 $m$ に対して，
　 $x_m$ を $m$ で表せ．
(4)(3)で定めた $x_m$ に対し， $89x_m+y=-20$ を満たす $y$ の値を $y_m$ とするとき，
　自然数 $n$ に対して， $\displaystyle \sum_{m=1}^n (3x_m+y_m)^2$ を $n$ で表せ．

（解）
(1)
割り算することで $89 = 29 \cdot 3 + 2$ ，および $29 = 2 \cdot 14 + 1$ となる．
よって最大公約数は1である．

(2)
(1)の1つ目の式を $2=89 - 29 \cdot 3$ と変形し2つ目の式に代入することで，
$89 \cdot (-14) + 29 \cdot 43 =1$ を得るから $x=-14,y=43$ が整数解のうちの1組である．

(3)
$89 \cdot (-14) + 29 \cdot 43 =1$ の両辺を $-20$ 倍することで， $89 \cdot 280 + 29 \cdot (-860) = -20$ となる．
つまり $89x+29y=-20$ の整数解は $\ell$ を整数として $x=280-29 \ell, y=-860+89 \ell$ である．
ここで $x>0$ が最小となるのは $\ell=9$ のとき $19$ をとる．
ゆえに $x_m$ は初項 $19$ ，公差 $29$ の等差数列で表現できるので
$x_m = 19 + 29(m-1)=29m-10$ が得られる．

(4)
$89 x_m +29 y_m =-20$ に $x_m =29m-10$ を代入すると，
$29y_m=-2581m+870$ より $y_m = -89m + 30$ を得る．
これより $3x_m + y_m =-2m$ となる．以上より
$\displaystyle \sum_{m=1}^n (3x_m+y_m)^2 = \sum_{m=1}^n 4m^2 = 4 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) = \frac{2}{3}n(n+1)(2n+1).$ （終）

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

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