留数定理その４ - べっこう色の記録

留数を何らかの方法で求められれば，積分の値が求まることを前回述べた．
その「何らか」の方法はローラン展開された式から分かる．

例えば関数 $f$ の点 $a$ におけるローラン展開が次の形だったとしよう．
　　 $f(z)=\frac{a_{-1}}{z-a}+a_{0}+a_{1}(z-a)+\cdots$ ．
両辺に $z-a$ をかけると，分母が払われて
　　 $(z-a)f(z)=a_{-1}+a_{0}(z-a)+a_{1}(z-a)^{2}+\cdots$
となる． $z=a$ を両辺に代入したくなるが， $a$ で $f$ は定義されていない．
そこで代わりに極限をとる．
　　 $\lim_{z \to a}(z-a)f(z)=a_{-1}$ ．
これはまさに留数を求めたことになる．

これならばどうだろうか．
　　 $f(z)=\frac{a_{-2}}{(z-a)^{2}} +\frac{a_{-1}}{z-a}+a_{0}+a_{1}(z-a)+\cdots$ ．
両辺に $(z-a)^{2}$ をかけて分母を払う．ここまで上と同様である．
　　 $(z-a)^{2}f(z)=a_{-2}+a_{-1}(z-a)+a_{0}(z-a)^{2}+\cdots$ ．

ここで上と同じように，そのまま極限をとりたくなってしまうがそれはいけない．
実際に計算してみると $\lim_{z \to a}(z-a)^{2}f(z)=a_{-2}$ となる．
$a_{-2}$ ではない．求めたいのは留数 $\large a_{-1}$ である．

したがって一工夫が必要になる．微分してから極限をとるのである．

やってみよう．両辺一階微分する．
　　 $\frac{d}{dz}(z-a)^{2}f(z)=a_{-1}+2a_{0}(z-a)+3a_{1}(z-a)^{2}+\cdots$ ．
$z \to a$ における極限をとる．
　　 $\lim_{z \to a} \frac{d}{dz}(z-a)^{2}f(z)=a_{-1}$ ．
大成功，というわけだ．

一般にローラン展開の負べきの部分（主要部という）が， $k$ 個であるとする．すなわち
　　 $f(z)=\frac{a_{-k}}{(z-a)^{k}}+ \cdots +\frac{a_{-1}}{z-a}+a_{0}+a_{1}(z-a)+\cdots$ ， $a_{-k} \not{=}0$ ．
の場合を考える．
一番大きい分母を払うように $(z-a)^{k}$ をかけ， $(k-1)$ 階微分し極限をとる．
多項式の微分なのでべきが係数としてあらわれることに注意する．
　　 $\lim_{z \to a} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}(z-a)^{k}f(z)=(k-1)! a_{-1}$ ．
以上から次の等式が得られる．
　　 $\frac{1}{(k-1)!} \lim_{z \to a} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}(z-a)^{k}f(z)=a_{-1}$ ．

主要部が有限でおさまるときには，こうして留数が求まる．
このとき点 $a$ は $k$ 位の極である，という．