積分と分数 - べっこう色の記録

分数の絡まっている積分はいくぶん考えにくいことがある。
そのそれぞれの解法はお互いに関係ないと思われるので個別に覚えるしかないだろう。
いくつかみていこう。以下積分定数は省略する。

(1) $\int \frac{1}{x^n}dx$ （ $n$ は自然数）
これは $n=1$ であるか否かで場合分けする。
$\int \frac{1}{x^n}dx= \left \{ \begin{array}{l} \log x \qquad \qquad (n=1) \\ \frac{1}{-n+1}x^{-n+1} \quad (n \neq 1) \end{array} \right.$

(2) $\int \frac{1}{x(x+2)} dx$
部分分数分解を用いる。これは $\frac{1}{x(x+2)}=\frac{a}{x} + \frac{b}{x+2}$ という恒等式を立てて， $a,b$ を求めればよい。
$\int \frac{1}{x(x+2)} dx=\int \frac{1}{2} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} )dx=\frac{1}{2}( \log |x| - \log |x+2|)$ ．

(3) $\int \frac{1}{\sin x} dx$
三角関数が分母に来たとたん，急に難しくなるのはなぜなんだろう。少なくともやり方を知らないと解けないだろう。
$\int \frac{1}{\sin x}dx=\int \frac{\sin x}{\sin^2 x}dx=\int \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x}dx$
部分分数分解すると
$=\int \frac{1}{2}(\frac{\sin x}{1-\cos x} + \frac{\sin x}{1+\cos x})dx=\frac{1}{2}(\log |1- \cos x|-\log |1+\cos x|)$ ．

(4) $\int \frac{1}{1+e^x} dx$
やり方が2通りある。
$\frac{1}{1+e^x}$ の分母と分子に $e^{-x}$ をかけると
$\int \frac{1}{1+e^x} dx=\int \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}dx=-\log (e^{-x}+1)$ ．
別の解法もかく。
$\frac{1}{1+e^x}= \frac{a(1+e^x)}{1+e^x}+ \frac{be^x}{1+e^x}$ という恒等式を立てて， $a,b$ を求める。
ここで $a$ には分母と約分できるものを， $b$ には分母の微分をそれぞれかけている。
これを解くと $a=1, b=-1$ であるから
$\int \frac{1}{1+e^x}dx=\int \frac{1+e^x}{1+e^x}dx+\int \frac{-e^x}{1+e^x}dx=x - \log (1+e^x)$ ．