ルベーグ積分の収束定理（ベッポ・レヴィの定理）

単調増加な列に対する収束定理を取り扱う．
収束定理とは，と積分の順序交換を保証する定理である．

定理（ベッポ・レヴィの定理）
非負可測関数列に対して，

が成り立つ．この等式の右辺または左辺が無限大であれば，両辺共に無限大となる．

積分範囲が示されていないが，これは任意の可測集合上で，という意味である．

（証明）
であり，
この式の極限をとることでが従う．
逆向きの不等号を示す．とおく．
関数列の各関数に対して






でとなる単関数の列がとれる．
と定める．
この関数列での積分が与えられることを示す．

および

でとして，となるから，である．
よって，が得られる．左辺は

となるのでが従う．（証明終）

ルベーグ積分の定義

いよいよルベーグ積分の定義に入っていこう．

[1] 非負単関数
非負単関数に対して，そのルベーグ積分を
　
と定義する．

[2] 非負可測関数
非負可測関数に対して，そのルベーグ積分を
　はを満たす非負値単関数
と定義する．可測集合上の積分はに指示関数を乗したものの積分を考えればよい．

[3] 一般の関数
実数値可測関数はと非負の部分と負の部分に分けてそれぞれに[2]を適用すればよい．ただしいずれの積分値も無限大に発散する場合には定義しない．
複素数値の場合には実部と虚部に分ければ，それぞれが実数値ゆえ同様である．

これでひとまず積分の定義は終わった．
右半開区間の定義から始めて，遠くへ来たわりには定義はあっけないものという感じがする．
それもそのはずで，ここまでルベーグ測度を十分に整備してきたからこそである．

定理
を満たす単関数列が存在すれば，
が成り立つ．

定義
はルベーグ可積分関数であると定義する．
ただしルベーグ可積分関数とはルベーグ積分の値が有限である関数のことである．

この集合を a.e. という同値関係で割る．

定義
と定義する．
左辺はなどとも書かれる．

単関数列と可測関数

定義（単関数）
値を有限個しか持たない関数を単関数という．ただし値としてを許す．

数式で表すとが単関数であるとは次のとおりである．
および相異なる実数を用いて

とかけることである．ここでは集合の指示関数（特性関数）といい
のときで，のときを満たす関数と定義される．

ところどころで一定の値をとり，しかもその値の出方は有限個に限られるものなので，扱いやすいといえる．
どんなものが単関数かは以下の例を見てもらえばより一層分かるだろう．

例（単関数の例）
1) 定数関数は単関数である．
2) で1，で2をとり，その他はすべて0をとる関数は単関数である．

例（単関数でない例）
1) 1次関数や2次関数は単関数でない．
2) で定義された関数であり，で，で，でのように長さがになるたびに関数の値にされる関数も段々になっているが単関数ではない．無限個の値をとるからである．

まずこの単関数に対してルベーグ積分を定義する．
そして他の関数に拡張することを考えるわけだが，このアイディアを支えるのが次の定理である．

定理．（可測関数は単関数で下から近似できる）
は可測関数であり，非負値でを許すとする．このとき，以下の条件を満たす単関数列が存在する．
i) 各に対し，．
ii) すべてのは有界な関数かつを満たす．

i)は可測関数は単関数で下から近似できることいっており，
ii)の後半は各単関数の定義域がおおよそ有限な範囲に収まっていることをいっている．

リーマン積分からルベーグ積分への転換は「たて」から「よこ」へにある

このルベーグ積分の話を始めた２年以上前の記事を見ると次のようなことが書いてある．

「すべての話の始まりは，様々な図形の面積・体積を測るにはどうすればいいかということだ．
素朴に考えると，長方形の面積・体積を定義し，
他の図形は長方形の近似で考えるのがいいと思われる．」

長方形の面積は小学校から（たて）×（よこ）で計算してきた．

リーマン積分の場合，定義域を小区間に分割し
（小区間の幅）×（小区間の任意の元の関数の値）で各小区間における長方形の面積を計算し，
たし合わせることによってリーマン和を計算した．
区間の幅の分割の仕方を初めに決定するので，
積分そのものの「難しさ」はどうしても関数の値にゆだねられることになる．
長方形の面積の話で言えば，（たて）に難しさを押し付けているのである．

ルベーグ積分はルベーグ測度を考えることで，定義域を複雑な図形へ分けることも許す．
こうすることで積分そのものの「難しさ」を関数の値からルベーグ測度に譲り渡している．
つまり（たて）から（よこ）へと視点を移しているのである．

（よこ）というのは関数にとっては関数の値のことである．
そこでまず定義域を分割したとき，その分割のひとつひとつにおいて定数である関数を考えると話が早い．
このような関数を単関数という．
そして単関数で近似できる関数を考えればよい．
実は近似可能な関数は可測関数なのである．あの定義はそういう意味もあるのだ．

岩手大学2016農学部第5問を解く

(1)は座標の決定なのでなるべく低い次数の方程式に帰着させるほうがよいと思う．
(2)はいくつかの方針が考えられる．
代入することでの方程式にするか，の方程式にするか，の方程式にするか．
そのあとは定数を分離するか，判別式か．

5．
放物線と円について，次の問いに答えよ．
ただし，は正の定数である．
(1)のとき，放物線と円の共有点の座標をすべて求めよ．
(2)がすべての正の実数値をとって変化するとき，放物線と円の共有点の個数はどのように変わるか，調べよ．

（解）
(1)
を代入するとである．
を代入して整理するとからを得る．
のとき，のときとなる．
共有点の座標はである．

(2)
をに代入して整理すると，…(☆)となる．
ここでおよびとする．
でとするとである．
関数は偶関数なのでのとき極大値，のとき極小値である．
座標上に上記2関数のグラフを描くことで，次のことが分かる．
すなわちのとき，方程式(☆)の解の個数は0個，
すなわちのとき，方程式(☆)の解の個数は2個，
すなわちのとき，方程式(☆)の個数は3個，
すなわち のとき，方程式(☆)の解の個数は4個となる．
方程式(☆)の解の個数と放物線と円の共有点の個数は一致するので，解が得られた．（終）

岩手大学2016農学部第4問を解く

(3)の面積比で少しだけ驚いた．
試験会場で余裕がなくなっているとがむしゃらに計算することになるだろう．
実際には曲線と接線で囲まれた部分の面積なので，
被積分関数が因数分解できることを考えるとそうでもない．

4．
曲線をとし，曲線上の点における接線をとする．
(1)接線の方程式を求めよ．
(2)を実数とし，点は接線上にあり，点は曲線上にあるとする．
　の範囲をが動くとき，の最大値を求めよ．
(3)接線と曲線で囲まれた図形は，軸によって2つの部分に分けられるが，
　それらの面積のうち小さいほうを，大きいほうをとするとき，の値を求めよ．
（解）
(1)
からのときである．
よってである．

(2)
と定める．
となる．
微分して

であるからの範囲では増減表をかくことでで最大値をとることが分かる．
つまりはのとき最大値をとる．

(3)
直線と曲線の差はである．
の因数分解から軸よりも左側の積分区間はであり，
軸よりも右側の積分区間はである．
（左側）




．

（右側）




．

つまりであり，．

岩手大学2016農学部第3問を解く

3．
89も29も素数なので，(1)はすぐ1であることが分かる．
(2)以降の右辺が-20である意味がつかめないのが悔しい．
おそらく何か由来があると思うのだが…．

次の問いに答えよ．
(1)ユークリッドの互除法を用いて，89と29の最大公約数を求めよ．
(2)2元1次不定方程式の整数解を1組求めよ．
(3)2元1次不定方程式の整数解として現れるの値のうち，
　正のものを小さい順にとする．このとき自然数に対して，
　をで表せ．
(4)(3)で定めたに対し，を満たすの値をとするとき，
　自然数に対して，をで表せ．

（解）
(1)
割り算することで，およびとなる．
よって最大公約数は1である．

(2)
(1)の1つ目の式をと変形し2つ目の式に代入することで，
を得るからが整数解のうちの1組である．

(3)
の両辺を倍することで，となる．
つまりの整数解はを整数としてである．
ここでが最小となるのはのときをとる．
ゆえには初項，公差の等差数列で表現できるので
が得られる．

(4)
にを代入すると，
よりを得る．
これよりとなる．以上より
（終）