マニアックな数列ばかり取り扱って、基本的な数列をやっていなかった。
このような数列を考える。
5, 8, 11, 14, …
はじめの数に3ずつ足して作られる数列である。
同じ数を足している、ということは隣あったものどうしは差が一定ということである。
つまりである。
隣り合ったものどうしの差が一定の数列を等差数列という。
はじめの数を初項、一定の差を公差、n番目を第n項という。
orz107orz.hatenablog.com
この記事の意味がさっぱり分からない。
一体なにをしようとしていたのか…?今となってはもう解明できない気がする。
この記事で述べられている、並べ替えの不等式はこのことだろうか。
3個のバージョンを書いておく。
実数およびにおいて、を任意に並べ替えたものをとする。
このとき次の並べ替えの不等式が成立する。
.
orz107orz.hatenablog.com
コーシーの積分定理の主張はここでかいた。
驚異的な定理と書いたが、この定理の気持ちを自分なりに書いてみる。
高校のころに学ぶ、実軸上の1変数関数の積分を思い出そう。
簡単のため閉区間上でである関数の積分を考える。
これは関数、2直線、実軸の4曲線で囲まれた部分の面積であって、
様々な要素がからんでいて面積など求められないと思うはず。
しかしである関数が存在すれば、面積はで求められる。
驚きはは両端の値だけがこの量に関与しているわけで、途中の値は見なくてよいことである。
複素関数に戻る。
複素積分は次のような線積分で定義される。
は積分路で複素平面上の有限で滑らかな路であるとする。
の両端は複素数である。例えばがその両端とする。
媒介変数表示してとしと定義する。
さらりと媒介変数を持ち出したが、右辺がのとり方に依存している。実際、その取り方を変えると積分の値がまるで変わってしまうものもある。
しかし上でやったように1変数の積分を思い出せば、どのようにをとっても積分の値が変わって欲しくない。
ここでもし、「となる関数」があれば「合成関数の積分」であるわけだから、形式的にはとなり、うまくいきそうである。
こののはなんだろうか。
実軸上の1変数関数ではないので、上記の微分とはわけが違う。
これは複素微分の意味での微分であって、それこそ正則ということである。
つまり正則であれば、両端の値のみで積分の値が決まると考えられる。
そのとき閉曲線は、両端が一致しているわけであるから積分値は0と想像できるわけだ。
ちなみにこの想像は正しく、が正則であればどのように媒介変数をとっても積分値は一定である。
それを保証する定理こそがコーシーの積分定理である。
ネット上でも有名なアレである。
問.(隣の家の子どもの性別)
1) 隣の家に家族が越してきた。子どもが2人おり、1人は男であるという。2人とも男である確率を求めよ。
2) 隣の家に家族が越してきた。子どもが2人おり、そのうちの1人の男の子どもが外で遊んでいるのを見た。もう1人が男である確率を求めよ。
解.
1) きょうだいのうち、年上が男であるという事象を、年下が男であるという事象をとする。
このときであり、である。
いずれかが男である確率はである。
いずれかが男であったとき、いずれも男である条件付き確率は。
2) 見たのが兄であっても、弟であっても、もう1人のきょうだいの性別には影響しない。
よってもう1人が男である確率はである。
初等整数論をやらなきゃいかん,と決意して勉強し始めたところ,除法の原理の証明で行き詰った.
定理.(除法の原理)
自然数 に対して
を満たす整数 が存在する.ただし である.
ネットで検索したら,この証明はペアノの公理から始めて,最小値原理を認めなければ証明できないようだ.
最小値原理
自然数の集合の部分集合には最小値が存在する.□
何より知らなかったのは最小値原理と数学的帰納法が同値であることだ.
したがっていずれか一方を認めなければならない,というわけだ.
数学的帰納法から最小値原理を証明する.
感覚的には次のようにして証明できると考えられる.
集合を自然数の集合の部分集合とする.
まず,が集合に属するか否かを調べ,属していれば最小値となる.
属していない場合はが属するか調べる.
以下繰り返し,初めて属している元が現れたときそれが最小元となる.
ここの繰り返し,の部分にあいまいさが残っている.