岩手大学2018農学部第5問を解く

この年度の問題の中で一番解きやすい問題だ。確実に解きたい。

5.
aを整数とする。整式F(x)=x^4+(a+1)x^3+(2a+4)x^2+(a+5)x+1について,次の問いに答えよ。
(1) 整式F(x)が1次式x+1を因数にもつことを示せ。
(2) F(x)=(x+1)G(x)を満たすG(x)を求めよ。
(3) G(x)=0の解の1つが整数であるとき,aの値を求めよ。

解)
(1)
(証明)
F(-1)=(-1)^4+(a+1) \times (-1)^3 +(2a+4) \times (-1)^2 +(a+5) \times (-1) +1=0
であるから,因数定理より整式F(x)x+1を因数にもつ。(証明終)

(2)
割り算(x^4+(a+1)x^3+(2a+4)x^2+(a+5)x+1) \div (x+1)を実行することで
G(x)=x^3+ax^2+(a+4)x+1を得る。

(3)
整数解mを持つとすると,因数定理より
m^3+am^2+(a+4)m+1=0 \cdots
m^3+am^2+(a+4)m=-1
m(m^2+am+(a+4))=-1
左辺は整数よりm-1の約数であるから,m=\pm 1である。
m=1ならば★に代入してa=-3を得る。
m=-1ならば★に代入すると矛盾する。
よって,a=-3である。