かなり手ごわかった.
いままで関数方程式を真剣に考えたことがなかっただけにつらかった.
あまりに冗長になったが,なんとか一応の解答を得たので公開する.
ちなみに締切日は昨日だった.
問題は東進のWebページで見てもらいたい.
解答はいつごろ発表なのだろうか…?
あざやかな解答があると思われるので楽しみに待っていたい.
解)
1st step 特殊な値の計算
与えられた方程式を(E)とおく.
(E)にを代入するととなる.
そこで…(a)とおく.
(E)にを代入すると…(b)となる.
(a),(b)を連立して,を得る.すなわち…(c).
2nd step 関数が単射であること
(E)にを代入すると…(d)が得られる.
関数が単射であることを証明する.
(証明)
任意の実数に対してとする.
(d)よりであって,よりが得られる.
であればとなり証明される.
いまと仮定する.(E)にを代入するととなる.
一方(c)よりであるから矛盾する.ゆえにがいえたからとなり単射であることがいえた.(証明終)
3rd step を得る
(d)にを代入するとであるが,(c)よりとなる.
2nd stepから関数は単射なのでで,であったから…(e)がわかった.
(E)にを代入して(e)とあわせて…(f)もわかる.
(E)にを代入して(f)とあわせてがわかる.
これで(d)はとなるが,みやすいように文字をとりかえて…(g)を得る.
4th step を求める
(E)にを代入する.ただしである.
である.
(g)よりでは単射だったから,となる.
ゆえにが従う.
は以外で定義される関数であるから,高々1個の値を除いたすべての実数を関数の値としてとるのであれば,を改めてとおくことで,その1個の値以外ではの表示を得る.
任意の実数をとり,となるを求める.
式変形してとなるから,(E)にを代入すると(f)よりとなる.
は単射だったから,すなわちであればが得られる.
式から分子はにならないので,このはになることはない.
以上からであればがとれることがわかる.
となるを求める.(E)にを代入すれば(f)よりとなる.
は単射だったからとなることがわかった.
つまり1以外のすべての実数に対して…(S)が示される.
ここで(f)よりであったから(S)はの場合にも成立することがわかる.
ゆえに求める関数はすべての実数に対してである.(終)
(17.8.8)ミスタイプを修正した.