岩手大学2018農学部第2問を解く

教科書の例題のような問題である。
適切に記号が使えるかどうかを問いたいのだろうか。

2.
初項が5である等差数列\{ a_n \}と,初項が2である等比数列\{ b_n \}がある(n=1,2,3,…)。
数列\{ c_n\}c_n=a_n - b_n,c_2=5,c_3=-1,c_4=-31で定められるとき,次の問いに答えよ。
(1) 数列\{ a_n \}の公差dと\{ b_n \}の公比rを求めよ。
(2) \{ c_n \}の一般項を求めよ。
(3) \{ c_n \}の初項から第n項までの和S_nを求めよ。
解)
(1)
初項5,公差dの等差数列であるから a_n=5+(n-1)d
初項2,公比rの等比数列であるから b_n=2r^{n-1}
c_2=a_2 - b_2=5+d-2r=5…(A)かつc_3=a_3 - b_3=5+2d-2r^2=-1…(B)となるので,
これを連立方程式と見て解く。(A)×2-(B)とすると5-4r+2r^2=11よりr^2-2r-3=0となる.
(r+1)(r-3)=0よりr=-1,3が得られる。
ここでr=-1c_n=2n-3-2 \cdot (-1)^{n-1}よりc_4=7で条件を満たさない.
r=3は条件を満たしd=6を得る。これが求める値である.

(2)
(1)に代入することでc_n=6n-1-2 \cdot 3^{n-1}を得る.

(3)
数列\{ a_n \},\{ b_n \}の初項から第n項までの和をそれぞれ求め引けばよい.
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_n=\sum_{k=1}^{n}(6n-1)
    =\frac{1}{2}n(5+(6n-1))
    =n(3n+2)
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_n=2\sum_{k=1}^{n}3^{k-1}
    \displaystyle =2\frac{3^n-1}{3-1}
    =3^n-1
以上よりS_n = n(3n+2) -3^n +1である.