トレミーの定理の証明

あまり一般的ではない証明をつける。

定理.(トレミーの定理)
円周上の4点A,B,C,Dに対して,AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BDが成立する.

(証明)
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図に対して以下のように角度を定める.
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四角形の対角線とそのなす角は下の図のように,三角形の外角から\alpha + \betaである.
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よって四角形ABCD=\frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot \sin(\alpha + \beta)…(1)である.
次に三角形ACDに着目する.下の図のように三角形ABDを裏返す.
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このとき四角形ABCD=ABD'+△CBD'であるが,
ABD'+△CBD'=\frac{1}{2}AB \cdot AD' \cdot \sin (\gamma + \delta)+\frac{1}{2}BC \cdot CD' \cdot \sin(\alpha + \beta)
である.\gamma + \delta = 180^\circ - (\alpha + \beta)かつAD'=CD, CD' = DAより
四角形ABCD=\frac{1}{2}AB \cdot CD \cdot \sin (\alpha + \beta)+\frac{1}{2}BC \cdot DA \cdot \sin(\alpha + \beta)…(2)を得る.
以上(1) ,(2)よりAB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BDが成立することが示された.
(証明終)