トレミーの定理の証明 - べっこう色の記録

あまり一般的ではない証明をつける。

定理．（トレミーの定理）
円周上の４点 $A,B,C,D$ に対して， $AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD$ が成立する．

（証明）
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図に対して以下のように角度を定める．
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四角形の対角線とそのなす角は下の図のように，三角形の外角から $\alpha + \beta$ である．
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よって四角形 $ABCD=\frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot \sin(\alpha + \beta)$ …(1)である．
次に三角形ACDに着目する．下の図のように三角形ABDを裏返す．
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このとき四角形 $ABCD=$ △ $ABD'$ ＋△ $CBD'$ であるが，
△ $ABD'$ ＋△ $CBD'=\frac{1}{2}AB \cdot AD' \cdot \sin (\gamma + \delta)+\frac{1}{2}BC \cdot CD' \cdot \sin(\alpha + \beta)$
である． $\gamma + \delta = 180^\circ - (\alpha + \beta)$ かつ $AD'=CD, CD' = DA$ より
四角形 $ABCD=\frac{1}{2}AB \cdot CD \cdot \sin (\alpha + \beta)+\frac{1}{2}BC \cdot DA \cdot \sin(\alpha + \beta)$ …(2)を得る．
以上(1) ，(2)より $AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD$ が成立することが示された．
（証明終）